《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

8. 新考向 过程性学习 若关于 $x$ 的一元二次方程 $kx^{2}-2x - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，求 $k$ 的最小整数值。
解：因为原方程有两个不相等的实数根，
所以 $\Delta＞0$，即 $(-2)^{2}-4k\cdot(-1)＞0$，
解得 $k＞-1$。
所以 $k$ 的最小整数值是 $0$。
以上解答是否正确？若不正确，请指出错误并给出正确答案。

答案： 8.解:不正确.错误原因:
∵当k=0时,原方程不是一元二次方程,
∴k≠0.
∴k的最小整数值为1.

9. (本课时 T8 变式)若关于 $x$ 的方程 $kx^{2}-2x - 1 = 0$ 有实数根，则实数 $k$ 的取值范围是k≥-1。

答案： 9.k≥-1

10. (本课时 T4 变式)(云南中考)若一元二次方程 $ax^{2}+2x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则实数 $a$ 的取值范围是(D)

A.$a＜1$
B.$a\leqslant1$
C.$a\leqslant1$ 且 $a\neq0$
D.$a＜1$ 且 $a\neq0$

答案： 10.D

11. (河南中考)定义运算：$m☆n = mn^{2}-mn - 1$。例如：$4☆2 = 4×2^{2}-4×2 - 1 = 7$。则方程 $1☆x = 0$ 的根的情况为(A)

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.只有一个实数根

答案： 11.A

12. 若代数式 $3x^{2}+1$ 与 $-x - 3$ 的值互为相反数，则 $x$ 的值为1或-2/3。

答案： 12.1或-2/3

13. 新考向 开放性问题 (曲靖中考)关于 $x$ 的方程 $ax^{2}+4x - 2 = 0(a\neq0)$ 有实数根，则负整数 $a=$-2(答案不唯一)。(填一个即可)

答案： 13.-2(答案不唯一)

14. 用公式法解一元二次方程：
(1) $x^{2}-4x = x-\frac{25}{4}$；
(2) $x(x - 4) = 2 - 8x$。

答案： 14.解:
(1)x²-5x+25/4=0,
∵a=1,b=-5,c=25/4,
∴Δ=b²-4ac=(-5)²-4×1×25/4=0.
∴方程有两个相等的实数根.
∴x=5±√0/2.
∴x₁=x₂=5/2.
(2)x²+4x-2=0.a=1,b=4,c=-2.
∴Δ=b²-4ac=24＞0.
∴x=-4±√24/2×1.
∴x₁=-2+√6,x₂=-2-√6.

15. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-(2k + 1)x + 4(k-\frac{1}{2}) = 0$。
(1) 求证：这个方程总有两个实数根；
(2) 若等腰三角形 $ABC$ 的一边长 $a = 4$，另外两边长 $b,c$ 恰好是这个方程的两个实数根，求 $\triangle ABC$ 的周长。

答案： 15.解:
(1)证明:
∵Δ=[-(2k+1)]²-4×1×4(k-1/2)=4k²-12k+9=(2k-3)²≥0,
∴方程总有两个实数根.
(2)
∵x=2k+1±(2k-3)/2,
∴x₁=2k-1,x₂=2.
∵b,c恰好是这个方程的两个实数根,设b=2k-1,c=2,当a,b为腰时,a=b=4,此时三角形的周长为4+4+2=10;当b,c为腰时,b=c=2,此时b+c=a,故此种情况不存在.综上所述,△ABC的周长为10.