《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

18. (曲靖麒麟区模拟)绿水青山就是金山银山. 某乡镇充分利用本地资源，组织生产一种成本为每盒 60 元的土特产品，为了解市场情况，准备先试销一段时间. 试销期间规定，销售单价不低于成本价，且获利不得高于成本的 $ 40\% $. 经试销发现，销售量 $ y $(万盒)与销售单价 $ x $(元)之间的函数图象如图所示.
(1) 求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式，并写出自变量 $ x $ 的取值范围；
(2) 当销售单价为多少元时，销售利润最大，最大利润为多少万元？
(3) 该镇决定每销售一盒土特产品，就抽出 $ a(a ＞ 0) $ 元钱作为该镇中小学贫困家庭优秀学生奖学金. 若除去捐款后，所获得的最大利润为 756 万元，求 $ a $ 的值.

答案： 解:
(1)设函数关系式为$y=kx+b$,由题意,得$\begin{cases} 63k+b=57, \\ 70k+b=50, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-1, \\ b=120, \end{cases}$$\therefore y=-x+120$.$\because$销售单价不低于成本单价,且获利不得高于成本的$40\%$,$\therefore 60\leqslant x\leqslant84$.$\therefore y=-x+120(60\leqslant x\leqslant84)$.
(2)设销售利润为$w$万元,由题意,得$w=(x-60)(-x+120)=-x^{2}+180x-7200=-(x-90)^{2}+900$,$\because-1＜0$,$60\leqslant x\leqslant84$,$\therefore$当$x=84$时,$w_{最大}=864$.
答:当销售单价为$84$元时,利润最大,最大利润是$864$万元.
(3)$w=(x-60-a)(-x+120)=-x^{2}+(180+a)x-120(60+a)$.$\because$对称轴为直线$x=90+\dfrac{1}{2}a＞84$,$\therefore$当$x=84$时,所获得的最大利润为$756$万元.$\therefore(84-60-a)(-84+120)=756$,解得$a=3$.

19. (云南中考)已知抛物线 $ y = x^2 + bx - 1 $ 的对称轴是直线 $ x = \frac{3}{2} $. 设 $ m $ 是抛物线 $ y = x^2 + bx - 1 $ 与 $ x $ 轴交点的横坐标，记 $ M = \frac{m^5 - 33}{109} $.
(1) 求 $ b $ 的值；
(2) 比较 $ M $ 与 $ \frac{\sqrt{13}}{2} $ 的大小.

答案： 解:
(1)$\because$抛物线$y=x^{2}+bx-1$的对称轴是直线$x=\dfrac{3}{2}$,$\therefore-\dfrac{b}{2}=\dfrac{3}{2}$,解得$b=-3$.
(2)由
(1)得,抛物线的解析式为$y=x^{2}-3x-1$.$\because m$是抛物线$y=x^{2}-3x-1$与$x$轴交点的横坐标,$\therefore m^{2}-3m-1=0$.$\therefore m^{2}=3m+1$.$\therefore m^{5}=(m^{2})^{2}\cdot m=(3m+1)^{2}\cdot m=(9m^{2}+6m+1)\cdot m=[9(3m+1)+6m+1]\cdot m=(27m+9+6m+1)\cdot m=(33m+10)\cdot m=33m^{2}+10m=33(3m+1)+10m=109m+33$.$\therefore M=\dfrac{m^{5}-33}{109}=\dfrac{109m+33-33}{109}=m$.解$m^{2}-3m-1=0$,得$m=\dfrac{3\pm\sqrt{13}}{2}$.①当$m=\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}$时,$M-\dfrac{\sqrt{13}}{2}=m-\dfrac{\sqrt{13}}{2}=\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}-\dfrac{\sqrt{13}}{2}=\dfrac{3}{2}＞0$,此时$M＞\dfrac{\sqrt{13}}{2}$;②当$m=\dfrac{3-\sqrt{13}}{2}$时,$M-\dfrac{\sqrt{13}}{2}=m-\dfrac{\sqrt{13}}{2}=\dfrac{3-\sqrt{13}}{2}-\dfrac{\sqrt{13}}{2}=\dfrac{3-2\sqrt{13}}{2}＜0$,此时$M＜\dfrac{\sqrt{13}}{2}$.