《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

1. (昆明期中)如图，将 $ Rt \triangle ABC $ 绕直角顶点顺时针旋转 $ 90^{\circ} $，得到 $ \triangle A^{\prime} B^{\prime} C $，连接 $ AA^{\prime} $。若 $ \angle 1 = 22^{\circ} $，则 $ \angle B $ 的度数是（ ）

A.$ 67^{\circ} $
B.$ 62^{\circ} $
C.$ 82^{\circ} $
D.$ 72^{\circ} $

答案： A

2. (昭通昭阳区期中)如图，把 $ \triangle ABC $ 绕顶点 $ C $ 按顺时针方向旋转得到 $ \triangle A^{\prime} B^{\prime} C $，$ A^{\prime} B^{\prime} \perp AC $ 于点 $ D $，$ \angle A = 47^{\circ} $，$ \angle A^{\prime} CB = 128^{\circ} $，则 $ \angle B^{\prime} CA $ 的度数为（ ）

A.$ 42^{\circ} $
B.$ 43^{\circ} $
C.$ 44^{\circ} $
D.$ 40^{\circ} $

答案： A

3. 如图，将 $ \triangle ABC $ 绕点 $ C $ 顺时针旋转 $ 90^{\circ} $ 得到 $ \triangle EDC $。若点 $ A $，$ D $，$ E $ 在同一条直线上，$ AB = 2 $，$ AC = 5 $，则 $ AD $ 的长为__________。

答案： $5\sqrt{2}-2$

4. 如图，在 $ Rt \triangle ABC $ 中，$ \angle ACB = 90^{\circ} $，$ \angle B = 30^{\circ} $，将 $ \triangle ABC $ 绕点 $ C $ 按逆时针方向旋转 $ n^{\circ}(0 ＜ n ＜ 90) $ 后，得到 $ \triangle DEC $，点 $ D $ 刚好落在边 $ AB $ 上。
(1) 求 $ n $ 的值；
(2) 若 $ AC = 6 $，求 $ DF $ 的长。

答案： 解:
(1)
∵将$\triangle ABC$绕点C按逆时针方向旋转$n^{\circ}$后得到$\triangle DEC$,
∴$AC=CD$.
∵在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$\angle B=30^{\circ}$,
∴$\angle A=90^{\circ}-\angle B=60^{\circ}$.
∴$\triangle DAC$是等边三角形.
∴$\angle DCA=60^{\circ}$,即n的值为60.
(2)
∵$\angle DCA=60^{\circ}$,
∴$\angle DCB=90^{\circ}-\angle DCA=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$.
∵$AC=6$,
∴$DC=6$.
∵$\angle FDC=\angle A=60^{\circ}$,
∴$\angle DFC=90^{\circ}$.
∴$DF=\frac{1}{2}DC=3$.

5. (昆明西山区月考)如图，已知正方形 $ ABCD $，点 $ E $，$ F $ 分别在 $ AB $，$ BC $ 边上，且 $ \angle EDF = 45^{\circ} $，将 $ \triangle DAE $ 绕点 $ D $ 逆时针旋转 $ 90^{\circ} $ 得到 $ \triangle DCM $。
(1) 求证：$ \triangle EDF \cong \triangle MDF $；
(2) 若正方形 $ ABCD $ 的边长为 $ 5 $，$ AE = 2 $，求 $ EF $ 的长。

答案： 解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴$\angle A=\angle B=\angle DCF=\angle ADC=90^{\circ}$,$AD=AB=BC$.由旋转的性质,得$\angle A=\angle DCM=90^{\circ}$,$DE=DM$,$\angle ADE=\angle CDM$,
∴$\angle DCF+\angle DCM=180^{\circ}$.
∴F,C,M三点在同一条直线上.
∵$\angle ADE+\angle EDC=\angle ADC=90^{\circ}$,
∴$\angle EDM=\angle CDM+\angle EDC=90^{\circ}$.
∵$\angle EDF=45^{\circ}$,
∴$\angle MDF=\angle EDM-\angle EDF=45^{\circ}$.
∴$\angle EDF=\angle MDF$.
∵$DF=DF$,
∴$\triangle EDF\cong\triangle MDF(SAS)$.
(2)设$CF=x$,
∵正方形ABCD的边长为5,
∴$BF=BC-CF=5-x$.由旋转的性质,得$AE=CM=2$,
∴$BE=AB-AE=3$,$FM=CF+CM=2+x$.
∵$\triangle EDF\cong\triangle MDF$,
∴$EF=FM=2+x$.在$Rt\triangle EBF$中,$BE^{2}+BF^{2}=EF^{2}$,
∴$3^{2}+(5-x)^{2}=(2+x)^{2}$.
∴$x=\frac{15}{7}$.
∴$EF=2+x=\frac{29}{7}$.