《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

1. (昆明中考)如图,直线 $ y = - x + 3 $ 与 $ y $ 轴相交于点 $ A $,与反比例函数 $ y = \frac { k } { x } ( k \neq 0 ) $ 的图象相交于点 $ C $,过点 $ C $ 作 $ CB \perp x $ 轴于点 $ B $,$ AO = 3BO $,则反比例函数的解析式为（ ）

A.$ y = \frac { 4 } { x } $
B.$ y = - \frac { 4 } { x } $
C.$ y = \frac { 2 } { x } $
D.$ y = - \frac { 2 } { x } $

答案： B

2. 若反比例函数 $ y = \frac { k } { x } $ 与一次函数 $ y = x + 2 $ 的图象只有一个交点,则 $ k = $______.

答案： -1

3. (昆明模拟)如图,直线 $ y = m x + n $ 与双曲线 $ y = \frac { k } { x } ( k \neq 0 ) $ 相交于 $ A ( - 1, 2 ) $,$ B ( 2, b ) $ 两点,与 $ y $ 轴相交于点 $ C $.
(1)求 $ m $,$ n $ 的值;
(2)若点 $ D $ 与点 $ C $ 关于 $ x $ 轴对称,求 $ \triangle ABD $ 的面积.

答案：
(1)
∵A(-1,2),B(2,b)两点都在双曲线$y=\frac {k}{x}$上,
∴k=-1×2=-2,$b=\frac {-2}{2}=-1$.
∴B(2,-1).
∵A(-1,2),B(2,-1)两点都在直线$y=mx+n$上,$\therefore \left\{\begin{array}{l} -m+n=2,\\ 2m+n=-1,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} m=-1,\\ n=1.\end{array}\right. $
(2)由
(1)知,直线 AB 的解析式为$y=-x+1$,
∴C(0,1).
∴D(0,-1).$\therefore BD// x$轴.$\therefore S_{\triangle ABD}=\frac {1}{2}BD\cdot |y_{A}-y_{D}|=\frac {1}{2}×2×(1+2)=3.$

4. 如图,一次函数 $ y = k _ { 1 } x + 5 $ ($ k _ { 1 } $ 为常数,且 $ k _ { 1 } \neq 0 $)的图象与反比例函数 $ y = \frac { k _ { 2 } } { x } $ ($ k _ { 2 } $ 为常数,且 $ k _ { 2 } \neq 0 $)的图象相交于 $ A ( - 2, 4 ) $,$ B ( n, 1 ) $ 两点.
(1)$ k _ { 1 } = $______,$ k _ { 2 } = $______,$ n = $______;
(2)若一次函数 $ y = k _ { 1 } x + m $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac { k _ { 2 } } { x } $ 的图象有且只有一个公共点,求 $ m $ 的值.

答案：
(1)$\frac {1}{2}$ -8 -8
(2)联立$\left\{\begin{array}{l} y=\frac {1}{2}x+m,\\ y=-\frac {8}{x},\end{array}\right. $消去 y,得$\frac {1}{2}x+m=-\frac {8}{x}.\therefore \frac {1}{2}x^{2}+mx+8=0$.
∵一次函数$y=k_{1}x+m$的图象与反比例函数$y=\frac {k_{2}}{x}$的图象有且只有一个公共点,$\therefore \Delta =m^{2}-16=0$,解得 m=4 或-4.

5. (文山期中)如图,点 $ A $ 是双曲线 $ y = \frac { k } { x } $ 与直线 $ y = - x - ( k + 1 ) $ 在第二象限的交点,$ AB \perp x $ 轴于点 $ B $,且 $ S _ { \triangle A B O } = \frac { 3 } { 2 } $.
(1)求两个函数的解析式;
(2)求 $ \triangle A O C $ 的面积.

答案：
(1)
∵点 A 是双曲线$y=\frac {k}{x}$与直线$y=-x-(k+1)$在第二象限的交点,AB⊥x轴于点 B,$S_{\triangle ABO}=\frac {3}{2},\therefore \frac {1}{2}|k|=\frac {3}{2}.\therefore |k|=3.\because k＜0,\therefore k=-3$.
∴两个函数的解析式分别为$y=-\frac {3}{x},y=-x+2$.
(2)在$y=-x+2$中,令 x=0,得 y=2.
∴直线$y=-x+2$与 y 轴的交点 D 的坐标为(0,2).联立$\left\{\begin{array}{l} y=-\frac {3}{x},\\ y=-x+2,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-1,\\ y_{1}=3,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l} x_{2}=3,\\ y_{2}=-1.\end{array}\right. $
∴A(-1,3),C(3,-1).$\therefore S_{\triangle AOC}=S_{\triangle ODA}+S_{\triangle ODC}=\frac {1}{2}×2×(3+1)=4.$