《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

7. 下面是小明同学对二次三项式$2y^{2}-6y+1$进行配方的过程：$2y^{2}-6y+1=y^{2}-3y+(-\frac{3}{2})^{2}+\frac{1}{2}=(y-\frac{3}{2})^{2}+\frac{1}{2}$.请指明配方过程是否正确？如果正确，请说明理由；如果不正确，请给出正确的配方过程.

答案： 解:不正确.正确的配方过程:$2y^{2}-6y+1=2[y^{2}-3y+(-\frac{3}{2})^{2}]-\frac{9}{2}+1=2(y-\frac{3}{2})^{2}-\frac{7}{2}$.

8. 新考向 过程性学习 阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容.
解方程：$2x^{2}-8x-18=0$.
解：移项，得$2x^{2}-8x=18$. ①
两边同时除以2，得$x^{2}-4x=9$. ②
配方，得$x^{2}-4x+4=9$，③
即$(x-2)^{2}=9$. $\therefore x-2=\pm3$. ④
$\therefore x_{1}=5,x_{2}=-1$. ⑤
上述过程中有没有错误？若有，错在步骤③（填序号），原因是配方时,只在方程的左边加上一次项系数一半的平方,而在右边忘记加.
请写出正确的解答过程.

答案： 解:③ 配方时,只在方程的左边加上一次项系数一半的平方,而在右边忘记加 移项,得$2x^{2}-8x=18$.两边同时除以2,得$x^{2}-4x=9$.配方,得$x^{2}-4x+4=9+4$,即$(x-2)^{2}=13$.$\therefore x-2=\pm \sqrt{13}$.$\therefore x_{1}=2+\sqrt{13},x_{2}=2-\sqrt{13}$.

9. 用配方法解方程$2x^{2}-12x+9=0$，下列配方正确的是(A)

A.$(x-3)^{2}=\frac{9}{2}$
B.$(x-3)^{2}=\frac{9}{4}$
C.$2(x-3)^{2}=\frac{9}{2}$
D.$2(x-3)^{2}=\frac{9}{4}$

答案： A

10.(曲靖期末)若一元二次方程$x^{2}-8x+a=0$配方后为$(x-4)^{2}=1$，则$a=$15.

答案： 15

11. 若方程$4x^{2}-(m-2)x+1=0$的左边是一个完全平方式，则$m=$-2或6.

答案： -2或6

12. 用配方法解下列方程：
（1）$3x^{2}+8x-3=0$；
（2）$x^{2}-2x-6=x-11$.

答案： 解:
(1)$3x^{2}+8x=3$.$\therefore x^{2}+\frac{8}{3}x=1$.$\therefore x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=1+\frac{16}{9}$.$\therefore (x+\frac{4}{3})^{2}=\frac{25}{9}$.$\therefore x+\frac{4}{3}=\pm \frac{5}{3}$.$\therefore x_{1}=\frac{1}{3},x_{2}=-3$.
(2)$x^{2}-3x=-5$.$\therefore x^{2}-3x+(\frac{3}{2})^{2}=-5+(\frac{3}{2})^{2}$.$\therefore (x-\frac{3}{2})^{2}=-\frac{11}{4}$.$\therefore$原方程无实数解.

【例】填空：
(1)$x^{2}+4x+8=(x+$2$)^{2}+$4. $\because$不论$x$取何值，$(x+$2$)^{2}$总是非负数，即$(x+$2$)^{2}\geq0$，$\therefore(x+$2$)^{2}+$4$\geq$4. $\therefore$当$x=$-2时，$x^{2}+4x+8$有最小值为4. $\therefore$原式子的值必为正数.(填“正”或“负”)
(2)$-x^{2}+2x+4=-(x-$1$)^{2}+$5. $\because$不论$x$取何值，$-(x-$1$)^{2}$总是非正数，即$-(x-$1$)^{2}\leq0$，$\therefore-(x-$1$)^{2}+$5$\leq$5. $\therefore$当$x=$1时，$-x^{2}+2x+4$有最大值为5.
【方法归纳】用配方法求代数式的最值，需要把代数式配方成$a(x+h)^{2}+k$的形式，当$a＞0，x=-h$时，该代数式有最小值$k$；当$a＜0，x=-h$时，该代数式有最大值$k$.

答案：
(1)2 4 2 2 2 4 4 -2 4 正
(2)1 5 1 1 1 5 5 1 5

1. 不论$a$为何实数，多项式$a^{2}+3a+5$的值一定是(A)

A.正数
B.负数
C.0
D.不能确定

答案： A

2. 对于代数式$-3x^{2}-6x+1$，当$x=$-1时，代数式有最大(填“大”或“小”)值，其值为4.

答案： -1 大 4

3. 设$a，b$为实数，求代数式$a^{2}+b^{2}-4a-2b+6$的最小值.

答案： 解:$a^{2}+b^{2}-4a-2b+6=a^{2}-4a+4+b^{2}-2b+1+1=(a-2)^{2}+(b-1)^{2}+1$.$\because (a-2)^{2}\geq 0,(b-1)^{2}\geq 0$,$\therefore (a-2)^{2}+(b-1)^{2}+1\geq 1$.$\therefore$代数式$a^{2}+b^{2}-4a-2b+6$的最小值为1.