《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

知识点1 增降率问题
若设变化前的量为$a$，平均变化率为$x$，则变化一次后的量为，变化两次后的量为____。

答案： 本题可根据平均变化率的概念，分别计算变化一次和变化两次后的量。
步骤一：计算变化一次后的量
已知变化前的量为$a$，平均变化率为$x$。
若$x$为增长率，那么变化一次后的量是在原来的量$a$的基础上增加$ax$，即$a + ax$，提取公因式$a$可得$a(1 + x)$；
若$x$为下降率，那么变化一次后的量是在原来的量$a$的基础上减少$ax$，即$a - ax$，提取公因式$a$可得$a(1 - x)$。
综合起来，变化一次后的量为$a(1\pm x)$。
步骤二：计算变化两次后的量
变化一次后的量为$a(1\pm x)$，将其看作新的“变化前的量”，再次按照平均变化率$x$进行变化。
若$x$为增长率，那么变化两次后的量是在$a(1 + x)$的基础上增加$a(1 + x)x$，即$a(1 + x)+a(1 + x)x$，提取公因式$a(1 + x)$可得$a(1 + x)(1 + x)=a(1 + x)^2$；
若$x$为下降率，那么变化两次后的量是在$a(1 - x)$的基础上减少$a(1 - x)x$，即$a(1 - x)-a(1 - x)x$，提取公因式$a(1 - x)$可得$a(1 - x)(1 - x)=a(1 - x)^2$。
综合起来，变化两次后的量为$a(1\pm x)^2$。
综上，答案依次为$\boldsymbol{a(1\pm x)}$；$\boldsymbol{a(1\pm x)^2}$ 。

1. (云南中考)两年前生产$1\ kg$甲种药品的成本为$80$元，随着生产技术的进步，现在生产$1\ kg$甲种药品的成本为$60$元. 设甲种药品成本的年平均下降率为$x$，根据题意，下列方程正确的是(B)

A.$80(1 - x^{2}) = 60$
B.$80(1 - x)^{2} = 60$
C.$80(1 - x) = 60$
D.$80(1 - 2x) = 60$

答案： B

2. 新考向 真实情境 (曲靖二模)某市为了解决新能源汽车充电难的问题，计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了$400$个充电桩，第三个月新建了$600$个充电桩. 设该市新建充电桩个数的月平均增长率为$x$，根据题意，可列方程为(A)

A.$400(1 + x)^{2} = 600$
B.$600(1 + x)^{2} = 400$
C.$400(1 - x)^{2} = 600$
D.$600(1 - x)^{2} = 400$

答案： A

3. 某电影第一天的票房约为$2$亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天的票房收入达$2.88$亿元，求每天票房的增长率.

答案： 解:设每天票房的增长率为x,根据题意,得2(1+x)²=2.88,解得x₁=0.2=20%,x₂=-2.2(舍去).
答:每天票房的增长率为20%.

知识点2 销售问题
商品利润$=$$-$，利润率$=$____$× 100\%$。

答案： 本题可根据商品利润和利润率的定义来填空。
- **步骤一：分析商品利润的计算公式
商品利润是指商品销售后所获得的盈利，它等于商品的售价减去成本（进价），即商品利润$=$售价$-$成本（进价）。
- **步骤二：分析利润率的计算公式
利润率是指利润与成本（进价）的比率，它等于利润除以成本（进价）再乘以$100\%$，即利润率$=\dfrac{利润}{成本（进价）}× 100\%$。
综上，答案依次为：售价；成本（进价）；$\boldsymbol{\dfrac{利润}{成本（进价）}}$。

4. 某商店从厂家以每件$21$元的价格购进一批商品. 若每件商品的售价定为$x$元，则可卖出$(350 - 10x)$件. 若商店计划从这批商品中获取$400$元的利润(不计其他成本)，求售价$x$. 根据题意，下面所列方程正确的是(B)

A.$21(350 - 10x) = 400$
B.$(x - 21)(350 - 10x) = 400$
C.$(21 - x)(350 - 10x) = 400$
D.$21 + (350 - 10x) = 400$

答案： B

5. 某商品成本价为$16$元/瓶，当定价为$20$元/瓶时，每天可售出$60$瓶. 市场调查反映：销售单价每上涨$1$元，则每天少售出$5$瓶. 设销售单价上涨$x$元.
(1) 涨价前每瓶的利润为4元，涨价后每瓶的利润为(x+4)元(用含$x$的代数式表示)；
(2) 涨价后每天的销售量为(60-5x)瓶(用含$x$的代数式表示)；
(3) 若涨价后日销售利润达到$300$元，则列出方程为(x+4)(60-5x)=300.

答案：
(1)4 (x+4)
(2)(60-5x)
(3)(x+4)(60-5x)=300

6. 某商店原来平均每天可销售某种水果$200\ kg$，每千克可盈利$6$元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价$1$元，那么每天可多售出$20\ kg$. 若要平均每天盈利$960$元，则每千克应降价多少元？

答案： 解:设每千克降价x元,根据题意,得(200+20x)(6-x)=960.解得x₁=2,x₂=-6(舍去).
答:每千克应降价2元.