《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

13. 新考向 真实情境 (昆明三中模拟)心理学家研究发现,一般情况下,在一节 40 分钟的课中,学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化. 开始上课时,学生的注意力逐渐增强,中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态,随后学生的注意力开始分散. 经过实验分析可知,学生的注意力指数 $ y $ 随上课时间 $ x $(分) 的变化规律如图所示,其中 $ AB $, $ BC $ 分别为线段 ($ BC // x $ 轴), $ CD $ 为双曲线的一部分. 上课开始时,注意力指数为 20,第 10 分钟时,注意力指数为 40. 根据图象信息,回答下列问题:
(1)求在上课的 40 分钟内,学生的注意力指数 $ y $ 与上课时间 $ x $(分)之间的函数关系式;
(2)如果一道数学题需要讲 19 分钟,为了达到好的讲解效果,要求学生的注意力指数至少为 36,那么经过适当安排,老师能否在学生注意力指数达到所需要的状态下讲解完这道题? 请说明理由.

答案： 13. 解:
(1)设线段AB所在的直线的解析式为$y=k_{1}x+20$.把B(10,40)代入,得$10k_{1}+20=40$,解得$k_{1}=2$.
∴$y=2x+20(0\leqslant x\leqslant 10)$;当10＜x≤25时,y=40;设点C,D所在双曲线的解析式为$y=\frac{k_{2}}{x}$.把C(25,40)代入,得$k_{2}=1000$.
∴$y=\frac{1000}{x}(25＜x\leqslant 40)$.综上所述,$y=\left\{\begin{array}{l} 2x+20(0\leqslant x\leqslant 10),\\ 40(10＜x\leqslant 25),\\ \frac{1000}{x}(25＜x\leqslant 40).\end{array}\right. $
(2)在$y=2x+20$中,令y=36,得$2x+20=36$,解得x=8.在$y=\frac{1000}{x}$中,令y=36,得$\frac{1000}{x}=36$,解得$x=\frac{250}{9}$.
∵$\frac{250}{9}-8=19\frac{7}{9}＞19$,
∴经过适当安排,老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目.

14. 如图,在反比例函数 $ y = \dfrac{20}{x}(x ＞ 0) $ 的图象上有点 $ P_1 $, $ P_2 $, $ P_3 $, $ P_4 $, $ P_5 $,它们的横坐标依次为 2,4,6,8,10,分别过这些点作 $ x $ 轴与 $ y $ 轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 $ S_1 $, $ S_2 $, $ S_3 $, $ S_4 $,则阴影部分的面积 $ S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = $____.

答案： 16