《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

知识点1 反比例函数中k的几何意义
过反比例函数 $ y = \frac{k}{x} (k \neq 0) $ 的图象上的任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形面积等于____，连接该点与原点，还可得出两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于____。

答案： $|k|$；$\frac{|k|}{2}$

如图，点B在反比例函数 $ y = \frac{2}{x} (x ＞ 0) $ 的图象上，过点B分别向x轴、y轴作垂线段，垂足分别为A，C，则 $ S_{矩形OABC} = $____，$ S_{\triangle OBC} = S_{\triangle OAB} = $____。

答案： 设点$ B $的坐标为$ (a, b) $，其中$ a ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $。
因为点$ B $在反比例函数$ y = \frac{2}{x} $的图象上，所以$ b = \frac{2}{a} $，即$ ab = 2 $。
由于$ BA \perp x $轴，$ BC \perp y $轴，垂足分别为$ A $，$ C $，所以$ OA = a $，$ OC = b $。
1. $ S_{矩形OABC} = OA × OC = a × b = ab = 2 $；
2. $ S_{\triangle OBC} = \frac{1}{2} × OC × BC = \frac{1}{2} × b × a = \frac{1}{2}ab = 1 $；
3. $ S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2} × OA × BA = \frac{1}{2} × a × b = \frac{1}{2}ab = 1 $。
2；1；1

1.（昆明官渡区二模）如图，过反比例函数 $ y = \frac{k}{x} (x ＞ 0) $ 的图象上一点A作 $ AB \perp x $ 轴于点B，连接AO。若 $ S_{\triangle AOB} = 2 $，则k的值为（ ）

A.2
B.3
C.4
D.5

答案： C

2.（红河二模）如图，点A是反比例函数 $ y = -\frac{6}{x} (x ＜ 0) $ 图象上的一点，过点A作 $ □ ABCD $，使点B，C在x轴上，点D在y轴上，则 $ □ ABCD $ 的面积为（ ）

A.1
B.3
C.6
D.12

答案： C

3.【转化思想】如图，A是反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象上的一点，过点A作 $ AB \perp x $ 轴，垂足为B。C为y轴上的一动点，连接AO，AC，BC。
（1）$ S_{\triangle ABC} $____$ S_{\triangle ABO} $（填“＞”“＜”或“=”）；
（2）若 $ \triangle ABC $ 的面积为4，则k的值是____。

答案：
(1)=
(2)-8

4.（益阳中考）正比例函数 $ y = 6x $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac{6}{x} $ 的图象的交点位于（ ）

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第一、三象限

答案： D

5. 如图，直线 $ y = \frac{1}{2}x + 1 $ 与x轴相交于点A，与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} (x ＞ 0) $ 的图象相交于点P，过点P作 $ PC \perp x $ 轴于点C，且 $ PC = 2 $，则k的值为（ ）

A.-4
B.2
C.4
D.3

答案： C

6.（六盘水中考）如图，一次函数 $ y_1 = k_1x + b (k_1 \neq 0) $ 的图象与反比例函数 $ y_2 = \frac{k_2}{x} (k_2 \neq 0) $ 的图象相交于A，B两点，观察图象，当 $ y_1 ＞ y_2 $ 时，x的取值范围是____。

答案： -1＜x＜0或x＞2