《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

1. (楚雄双柏县模拟节选)已知抛物线 $ y = ax^{2}+bx $，点 $ P(x_{1},m) $ 与点 $ Q(x_{2},m) $ 在抛物线上，且 $ x_{2}-x_{1}=t $.
(1)若抛物线经过点$(1,0)$，求抛物线的对称轴；
(2)若 $ b = - 2a $，求证：$ 4x_{1}^{2}-2x_{2}t + 6t = 4 $.

答案： 1.解:
(1)将点(1,0)代入抛物线 y=ax²+bx,得 a+b=0,
∴a=-b,
∴-b/(2a)=1/2.
∴抛物线的对称轴为直线 x=1/2.
(2)证明:
∵b=-2a,
∴抛物线的对称轴为直线 x=-b/(2a)=1.
∵点 P(x₁,m)与点 Q(x₂,m)在抛物线上,
∴(x₁+x₂)/2=1,即 x₁+x₂=2.
∵x₂-x₁=t,
∴x₁=1-t/2,x₂=1+t/2.
∴2x₁=2-t,2x₂=2+t.
∴4x₁²-2x₂t+6t=(2-t)²-(2+t)t+6t=4-4t+t²-2t-t²+6t=4.

2. (云南中考)数和形是数学研究客观物体的两个方面，数(代数)侧重研究物体数量方面，具有精确性，形(几何)侧重研究物体形的方面，具有直观性.数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系.数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题.
同学们，请你结合所学的数学解决下列问题.
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点.设函数 $ y=(4a + 2)x^{2}+(9 - 6a)x - 4a + 4 $ (实数 $ a $ 为常数)的图象为图象 $ T $.
(1)求证：无论 $ a $ 取什么实数，图象 $ T $ 与 $ x $ 轴总有公共点；
(2)是否存在整数 $ a $，使图象 $ T $ 与 $ x $ 轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数 $ a $ 的值；若不存在，请说明理由.

答案： 2.解:
(1)证明:当 a=-1/2 时,函数解析式为 y=12x+6.令 y=0,得 x=-1/2.
∴此时函数 y=(4a+2)x²+(9-6a)x-4a+4(实数 a 为常数)的图象与 x 轴有交点;当 a≠-1/2 时,y=(4a+2)x²+(9-6a)x-4a+4 为二次函数,
∵Δ=(9-6a)²-4(4a+2)(-4a+4)=100a²-140a+49=(10a-7)²≥0,
∴函数 y=(4a+2)x²+(9-6a)x-4a+4(实数 a 为常数)的图象与 x 轴有交点.综上所述,无论 a 取什么实数,图象 T 与 x 轴总有公共点.
(2)存在整数 a,使图象 T 与 x 轴的公共点中有整点,理由如下:当 a=-1/2 时,不符合题意;当 a≠-1/2 时,在 y=(4a+2)x²+(9-6a)x-4a+4 中,令 y=0,得 0=(4a+2)x²+(9-6a)x-4a+4,解得 x=-1/2 或 x=(4a-4)/(2a+1).
∵x=(4a-4)/(2a+1)=2-6/(2a+1),a 是整数,
∴当 2a+1 是 6 的因数时,(4a-4)/(2a+1)是整数.
∴2a+1=-6 或 2a+1=-3 或 2a+1=-2 或 2a+1=-1 或 2a+1=1 或 2a+1=2 或 2a+1=3 或 2a+1=6,解得 a=-7/2 或 a=-2 或 a=-3/2 或 a=-1 或 a=0 或 a=1/2 或 a=1 或 a=5/2.
∵a 是整数,
∴a=-2 或 a=-1 或 a=0 或 a=1.