《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

2. (云南师大实验中学期中) 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle B = 90°$，$\angle BAC$ 的平分线交 $BC$ 于点 $D$，$E$ 为 $AB$ 上一点，$DE = DC$，以 $D$ 为圆心，$DB$ 长为半径画圆.
(1) 求证：$AC$ 是 $\odot D$ 的切线；
(2) 若 $AB = 6$，$AC = 10$ 时，求线段 $AE$ 的长.

答案： 2.解:
(1)证明:过点 D 作 DF⊥AC 于点 F.
∵AB 为⊙D 的切线,AD 平分∠BAC,
∴BD=DF.
∵DF 是⊙D 的半径,
∴AC 为⊙D 的切线.
(2)在 Rt△ABD 和 Rt△AFD 中,{AD=AD,DB=DF,
∴Rt△ABD≌Rt△AFD(HL).
∴AB=AF=6.
∵AC=10,
∴FC=4.在 Rt△EBD 和 Rt△CFD 中,{ED=CD,DB=DF,
∴Rt△EBD≌Rt△CFD(HL).
∴EB=FC=4.
∴AE=AB-EB=6-4=2.

3. (昆明五华区月考) 如图，四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$，对角线 $BD$ 为 $\odot O$ 的直径，点 $E$ 在 $BC$ 的延长线上，且 $\angle E = \angle BAC$.
(1) 求证：$DE$ 是 $\odot O$ 的切线；

(2) 若 $AC // DE$，当 $AB = 8$，$DC = 4$ 时，求 $AC$ 的长.

答案： 3.解:
(1)证明:
∵BD 是直径,
∴∠BCD=90°.
∴∠E+∠CDE=90°.
∵∠E=∠BAC,
∴∠BAC+∠CDE=90°.由同弧所对的圆周角相等,得∠BAC=∠BDC,
∴∠BDC+∠CDE=90°.
∴∠BDE=90°,即 BD⊥DE.
∵OD 是⊙O 的半径,
∴DE 是⊙O 的切线.
(2)设 BD 与 AC 交于点 F,
∵DE//AC,∠BDE=90°,
∴∠BFC=90°.
∴AF=CF=1/2AC,CB=AB=8.在 Rt△BCD 中,BD=√(BC²+CD²)=4√5,由等面积法,得 CF=(BC·CD)/BD=8√5/5,
∴AC=2CF=16√5/5.

4. (曲靖中考) 如图，$AB$ 为 $\odot O$ 的直径，点 $C$ 为 $\odot O$ 上一点，将弧 $BC$ 沿直线 $BC$ 翻折，使弧 $BC$ 的中点 $D$ 恰好与圆心 $O$ 重合，连接 $OC$，$CD$，$BD$，过点 $C$ 的切线与线段 $BA$ 的延长线相交于点 $P$，连接 $AD$，在 $PB$ 的另一侧作 $\angle MPB = \angle ADC$.
(1) 判断 $PM$ 与 $\odot O$ 的位置关系，并说明理由；
(2) 若 $PC = \sqrt{3}$，求四边形 $OCDB$ 的面积.

答案： 4.解:
(1)PM 与⊙O 相切.理由:连接 DO 并延长交 PM 于点 E,
∵弧 BC 沿直线 BC 翻折,使弧 BC 的中点 D 恰好与圆心 O 重合,
∴OC=DC,BO=BD.
∴OC=DC=BO=BD.
∴四边形 OBDC 为菱形.
∴OD⊥BC.
∴△OCD 和△OBD 都是等边三角形.
∴∠COD=∠BOD=60°.
∴∠COP=60°.
∵∠MPB=∠ADC,∠ADC=∠ABC,
∴∠ABC=∠MPB.
∴PM//BC.
∴OE⊥PM.在 Rt△OPE 中,∠POE=∠BOD=60°,
∴∠OPE=30°.
∴OE=1/2OP.
∵PC 为⊙O 的切线,
∴OC⊥PC.同理可得 OC=1/2OP,
∴OE=OC.
∵OE 是⊙O 的半径,
∴PM 是⊙O 的切线.
(2)在 Rt△OPC 中,由勾股定理,得 OP²=PC²+OC²,即(2OC)²=(√3)²+OC²,
∴OC=1.
∴S四边形OCDB=2S△OCD=2×(1/2×√3/2×1)=√3/2.