《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

1. 如图，点A，B，C，D，E都在⊙O上，AC平分∠BAD，且AB//CE，求证：AD=CE.

答案： 证明：
∵AB//CE，
∴∠C=∠BAC. 又
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC.
∴∠C=∠CAD.
∴$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{CD}$.
∴$\overset{\frown}{AE}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{AC}$.
∴$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{AD}$.
∴AD=CE.

2. （昆明安宁一中期中）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD=30°.
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AD=√{3}，求DB的长.

答案：
(1)
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°.
∵∠B=∠ACD=30°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°.
(2)在Rt△ADB中，∠ABD=30°，
∴AB=2AD=2$\sqrt{3}$，BD=$\sqrt{AB^2-AD^2}$=3.

3. （昆明官渡区期末）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点O作OD⊥BC分别交BC和⊙O于点E，D.
（1）求证：OD//AC；

（2）若BC=8，DE=3，求⊙O的直径.

答案：
(1)证明：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°.
∵OD⊥BC，
∴∠OEB=90°.
∴∠OEB=∠C.
∴OD//AC.
(2)设⊙O的半径为r，
∵OD⊥BC，
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=4. 在Rt△OBE中，由勾股定理，得$r^2=4^2+(r-3)^2$. 解得r=$\frac{25}{6}$. 所以⊙O的直径为$\frac{25}{3}$.

4. （昆明一中月考）如图，已知AB，MD是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.
（1）若CD=16 cm，BE=4 cm，求⊙O的半径；
（2）若∠M=∠MDC，求∠MDC的度数.

答案：
(1)设半径为r.
∵弦CD⊥AB，CD=16，
∴DE=$\frac{1}{2}$CD=8.
∵BE=4，
∴OE=OB-BE=r-4. 在△DOE中，OE²+DE²=OD².
∴$(r-4)^2+8^2=r^2$. 解得r=10.
∴⊙O的半径为10 cm.
(2)连接BD.
∵MD是⊙O的直径，
∴∠MBD=90°.
∴∠MDC+∠BDC+∠M=90°.
∵弦CD⊥AB，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$.
∴∠M=∠BDC.
∵∠M=∠MDC，
∴∠MDC=∠BDC=∠M，即3∠MDC=90°.
∴∠MDC=30°.