《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

7.（昆明十中模拟）已知函数 $ y = x - k $ 和 $ y = -\frac{k}{x} (k \neq 0) $，它们在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）

答案： B

8. 如图，一次函数 $ y_1 = -x + 4 $ 的图象与反比例函数 $ y_2 = \frac{k}{x} $（k为常数且 $ k \neq 0 $）的图象相交于 $ A(3, m) $，$ B(n, 3) $ 两点。则在第一象限内，当 $ y_1 ＞ y_2 $ 时，x的取值范围是____。

答案： 1＜x＜3

9.（昆明官渡区一模）如图，四边形OABC为菱形，点C在x轴上，点A在直线 $ y = x $ 上，点B在 $ y = \frac{k}{x} (k ＞ 0) $ 的图象上。若 $ S_{菱形OABC} = \sqrt{2} $，则k的值为____。

答案： $\sqrt{2}+1$

10.（云南模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l经过原点，且与反比例函数图象 $ y = \frac{k}{x} $ 相交于点 $ A(1, 2) $，点 $ B(m, -2) $。分别过点A，B作 $ AC \perp y $ 轴于点C，$ BD \perp y $ 轴于点D，再以AC，BD为半径作 $ \odot A $ 和 $ \odot B $。
（1）求反比例函数的解析式及m的值；
（2）求图中阴影部分的面积。

答案： 解:
(1)
∵点A(1,2)在$y=\frac{k}{x}$的图象上,
∴k=1×2=2.
∴$y=\frac{2}{x}$.
∵-2m=2,
∴m=-1.
(2)
∵AC=BD=1,即R=1.根据中心对称的性质,得$S_{阴影}=πR^{2}=π$.

11. 如图，直线 $ y = k_1x + b $ 与双曲线 $ y = \frac{k_2}{x} (k \neq 0) $ 相交于 $ A(2, 3) $，$ B(m, -2) $ 两点。
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）C是x轴正半轴上一点，连接AO，AC，$ AO = AC $，求 $ \triangle AOC $ 的周长。

答案： 解:
(1)把A(2,3)代入$y=\frac{k_{2}}{x}$,得$k_{2}=2×3=6$.
∴双曲线的解析式为$y=\frac{6}{x}$.
∵B(m,-2)在双曲线上,
∴$-2=\frac{6}{m}$,解得m=-3.
∴B(-3,-2).把A(2,3),B(-3,-2)代入$y=k_{1}x+b$,得$\left\{\begin{array}{l} 2k_{1}+b=3,\\ -3k_{1}+b=-2,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} k_{1}=1,\\ b=1.\end{array}\right. $
∴直线的解析式为$y=x+1$.
(2)过点A作AE⊥OC于点E.
∵AO=AC,
∴OE=EC.
∴OC=2OE=4.
∵AE=3,
∴$AO=AC=\sqrt{OE^{2}+AE^{2}}=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13}$.
∴△AOC的周长为$OA+AC+OC=4+2\sqrt{13}$.