《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

1. (昆明期中)如图，已知抛物线$y=x^{2}+bx+c$经过$A(-1,0)$，$B(3,0)$两点.
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)点$P$为$x$轴上方抛物线上一点，若$S_{\triangle PAB}=10$，求出此时点$P$的坐标.

答案： 解:
(1)把A(-1,0),B(3,0)代入y=x²+bx+c,得{1-b+c=0,9+3b+c=0,解得{b=-2,c=-3.
∴抛物线解析式为y=x²-2x-3=(x-1)²-4.
∴顶点坐标为(1,-4).
(2)
∵A(-1,0),B(3,0),
∴AB=3-(-1)=4.设点P的坐标为(t,t²-2t-3),
∵S△PAB=10,
∴1/2×4×|t²-2t-3|=10.
∴t²-2t-8=0,解得t₁=-2,t₂=4.
∴点P的坐标为(-2,5)或(4,5).

2. (昆明五华区月考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过$A(-1,0)$，$B(3,0)$和$C(0,3)$，连接$BC$，$P$是直线$BC$上方的一个动点(且不与$B$，$C$重合).
(1)求抛物线的解析式；

(2)求$\triangle PBC$面积的最大值.

答案： 解:
(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)(a≠0),把C(0,3)代入,得3=a×1×(-3),
∴a=-1.
∴抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-3),即y=-x²+2x+3.
(2)
∵B(3,0)和C(0,3),
∴直线BC的解析式为y=-x+3.作PD⊥x轴,交BC于点D.设P(x,-x²+2x+3),则D(x,-x+3),
∴PD=-x²+2x+3-(-x+3)=-x²+3x.
∴S△PBC=S△PDC+S△PDB=1/2 PD·OB=1/2(-x²+3x)×3=-3/2(x-3/2)²+27/8.
∴当x=3/2时,△PBC的面积最大,最大值是27/8.

3. (昆明五华区期末)如图，抛物线$y=x^{2}+bx-3$与$x$轴交于$A$，$B$两点，与$y$轴交于点$C$，且$A(-1,0)$.
(1)求抛物线的解析式及顶点$D$的坐标；
(2)点$M$是对称轴上的一个动点，当$\triangle ACM$的周长最小时，求点$M$的坐标.

答案： 解:
(1)
∵点A(-1,0)在抛物线y=x²+bx-3上,
∴b=-2.
∴抛物线解析式为y=x²-2x-3.
∵抛物线y=x²-2x-3=(x-1)²-4,
∴顶点D的坐标为(1,-4).
(2)对于y=x²-2x-3,当x=0时,y=-3,
∴C(0,-3).当y=0时,x²-2x-3=0,解得x₁=-1,x₂=3.
∴B(3,0).由抛物线的性质可知,点A和点B关于抛物线的对称轴对称,
∴连接BC交抛物线的对称轴于点M,此时AM+CM=BC为最小值,故此时△ACM的周长最小.设直线BC的解析式为y=mx+n,则{0=3m+n,n=-3,解得{m=1,n=-3.
∴直线BC的解析式为y=x-3.当x=1时,y=-2,故点M(1,-2).