《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

9. 如图，$C$，$D$是以$AB$为直径的$\odot O$上的两点，且$OD// BC$.求证：$AD=DC$.

答案： 9.证明:
∵OD//BC,
∴∠AOD=∠B,∠DOC=∠OCB.
∵OB= OC,
∴∠B=∠OCB.
∴∠AOD=∠DOC.
∴AD=DC.

10. 如图，$A$，$B$，$C$，$D$是$\odot O$上的四点，且$AD=BC$，则$AB$与$CD$的大小关系为 （ ）

A.$AB＞CD$
B.$AB=CD$
C.$AB\lt CD$
D.不能确定

答案： 10.B

11. （教材9上P90习题T13变式）如图，$A$，$B$是半径为$3$的$\odot O$上的两点.若$\angle AOB=120^{\circ }$，$C$是$\overset{\frown }{AB}$的中点，则四边形$AOBC$的周长等于______.

答案： 11.12

12. 如图，$AB$是半圆$O$的直径，$E$是$OA$的中点，$F$是$OB$的中点，$ME\perp AB$于点$E$，$NF\perp AB$于点$F$.下列结论：
①$\overset{\frown }{AM}=\overset{\frown }{MN}=\overset{\frown }{BN}$；②$ME=NF$；③$AE=BF$；④$ME=2AE$.
其中正确的是______.（填序号）

答案： 12.①②③

13. 如图，已知$D$，$E$分别为半径$OA$，$OB$的中点，$C$为$\overset{\frown }{AB}$的中点.试问$CD$与$CE$是否相等？说明你的理由.

答案： 13.解:相等.理由如下:连接 OC.
∵D,E 分别为⊙O 半径 OA,OB 的中点,
∴OD=$\frac{1}{2}$AO,OE=$\frac{1}{2}$BO.
∵OA=OB,
∴OD=OE.
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点,
∴$\overset{\frown}{AC}$=$\overset{\frown}{BC}$.
∴∠AOC=∠BOC.又
∵OC= OC,
∴△DCO≌△ECO(SAS).
∴CD=CE.

14. （教材9上P84例3变式）如图，$AB$是$\odot O$的直径，$\overset{\frown }{AC}=\overset{\frown }{CD}$，$\angle COD=60^{\circ }$.
（1）$\triangle AOC$是等边三角形吗？请说明理由；
（2）求证：$OC// BD$.

答案： 14.解:
(1)△AOC 是等边三角形.理由:
∵$\overset{\frown}{AC}$=$\overset{\frown}{CD}$,
∴∠AOC= ∠COD=60°.又
∵OA=OC.
∴△AOC 是等边三角形.
(2)证明:
∵$\overset{\frown}{AC}$=$\overset{\frown}{CD}$,
∴OC⊥AD.
∵∠AOC=∠COD=60°,
∴∠BOD= 180°-(∠AOC+∠COD)=60°.
∵OD=OB,
∴△ODB 为等边三角形.
∴∠ODB=60°.
∴∠ODB=∠COD=60°.
∴OC//BD.

15. 如图，在$\odot O$中，$\overset{\frown }{AB}=2\overset{\frown }{AC}$，$AD\perp OC$于点$D$.求证：$AB=2AD$.

答案： 15.证明:延长 AD 交⊙O 于点 E.
∵AD⊥OC,
∴$\overset{\frown}{AE}$=2$\overset{\frown}{AC}$,AE= 2AD.
∵$\overset{\frown}{AB}$=2$\overset{\frown}{AC}$,
∴$\overset{\frown}{AE}$=$\overset{\frown}{AB}$.
∴AB=AE.
∴AB=2AD.