《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

知识点1 相似三角形的有关概念
如果两个三角形的三个角分别____，三条边____，我们就说这两个三角形相似.相似三角形对应边的比叫做相似比.相似用符号“∽”表示.
如图，在△ABC和△A₁B₁C₁中，如果∠A = ∠A₁，∠B = ____，∠C = ____，$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$，那么△ABC∽△A₁B₁C₁.

答案： 相等；成比例
由题意，在△ABC 和 △A₁B₁C₁ 中，已知 ∠A = ∠A₁，根据相似三角形的定义，如果两个三角形相似，则它们的对应角相等，对应边成比例，所以，如果 ∠A = ∠A₁，∠B = ∠B₁，∠C = ∠C₁，且 $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$，那么 △ABC ∼ △A₁B₁C₁，故答案为：∠B₁；∠C₁。

1. 若△ABC∽△A'B'C'，且相似比是 2:3，则△A'B'C'与△ABC的相似比为____.

答案： 3:2

2. 如图，△ABC∽△AED.
（1）若∠AED = 40°，则∠B的度数为____；
（2）若$\frac{AE}{AB}=\frac{2}{3}$，DE = 6，则BC的长为____.

答案：
(1)40°
(2)9

知识点2 平行线分线段成比例
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段____.
如图1，直线$l_1// l_2// l_3$，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，则$\frac{AB}{BC}=$____，$\frac{AB}{AC}=$____，$\frac{BC}{AC}=$____.

答案： （1）成比例
$\frac{DE}{EF}$；$\frac{DE}{DF}$；$\frac{EF}{DF}$

（2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段____.
如图2，在△ABC中，DE//BC，DE分别交AB，AC于点D，E，则$\frac{AD}{DB}=$____，$\frac{AD}{AB}=$____，$\frac{DB}{AB}=$____.

答案： 成比例；$\frac{AE}{EC}$；$\frac{AE}{AC}$；$\frac{EC}{AC}$

3. 如图，$l_1// l_2// l_3$.若$\frac{AB}{BC}=\frac{3}{2}$，DE = 6，则EF =（ ）

A.4
B.6
C.8
D.9

答案： A

4.（哈尔滨中考）如图，AB//CD，AC，BD相交于点E，AE = 1，EC = 2，DE = 3，则BD =（ ）

A.$\frac{3}{2}$
B.4
C.$\frac{9}{2}$
D.6

答案： C

5. 如图，EG//BC，GF//DC，AE = 3，EB = 2，AF = 6，求AD的长.

答案： 解:
∵EG//BC,
∴$\frac{AE}{EB}=\frac{AG}{GC}$.
∵GF//DC,
∴$\frac{AG}{GC}=\frac{AF}{FD}$.
∴$\frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FD}$,即$\frac{3}{2}=\frac{6}{FD}$.
∴FD=4.
∴AD=10.

知识点3 相似三角形判定的预备定理
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
如图，在△ABC中，DE//BC，DE分别交AB，AC于点D，E，则△ADE____△ABC.

答案： 根据相似三角形判定的预备定理，由于$DE// BC$，
所以在$\triangle ABC$中，有$\triangle ADE \sim \triangle ABC$。
故答案为：$\sim$（或 填“相似于”）。