《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

3.（曲靖期末）为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小老师”讲题比赛，下面是四张背面看上去无差别的卡片 $A$，$B$，$C$，$D$，每张卡片的正面是四位“数学小老师”利用判别式判断一元二次方程根的情况的解题过程（如图），把四张卡片背面朝上放在桌子上.

（1）随机抽取一张卡片，卡片上的一元二次方程有两个不相等的实数根的概率是________；
（2）从四张卡片中随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张，用画树状图或列表的方法求抽取的两张卡片上的一元二次方程都有实数根的概率.

答案：
解:
(1)$\frac{1}{2}$　
(2)画树状图如下:
　　　　　
共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的一元二次方程都有实数根的结果有6种，所以抽取的两张卡片上的一元二次方程都有实数根的概率为$\frac{6}{12}$=$\frac{1}{2}$。

4. 现有一个六面分别标有数字 $1$，$2$，$3$，$4$，$5$，$6$ 且质地均匀的正方体骰子，另有三张正面分别标有数字 $1$，$2$，$3$ 的卡片（卡片除数字外，其他都相同），先由小明投骰子一次，记下骰子向上一面出现的数字，然后由小王从三张背面朝上放置在桌面上的卡片中随机抽取一张，记下卡片上的数字.
（1）请用列表或画树状图的方法，求出骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积为 $6$ 的概率；
（2）小明和小王做游戏，约定游戏规则如下：若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积大于 $7$，则小明赢；若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积小于 $7$，则小王赢，问小明和小王谁赢的可能性更大？请说明理由.

答案：
解:
(1)画树状图如下:
　　　　
　　　　m1　;34;6　24681012　36314215518
共18种等可能情况，数字之积为6的情况数有3种，
∴P(数字之积为6)=$\frac{3}{18}$=$\frac{1}{6}$。
(2)小王赢的可能性更大。理由:由上图可知，该游戏所有可能的结果共18种，其中骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积大于7的有7种，骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积小于7的有11种，
∴小明赢的概率为$\frac{7}{18}$，小王赢的概率为$\frac{11}{18}$。故小王赢的可能性更大。