《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

12. (曲靖期末)已知关于 $x$的一元二次方程 $x^{2}-4x + k - 1 = 0$有实数根.
(1)求 $k$的取值范围;
(2)若此方程的两实数根 $x_{1},x_{2}$满足 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=10$,求 $k$的值.

答案：
(1)根据题意,得$\Delta =(-4)^{2}-4(k-1)\geqslant0$,解得$k\leqslant5$.
(2)根据根与系数的关系,得$x_{1}+x_{2}=4$,$x_{1}x_{2}=k-1$,$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=10$,$\therefore (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=4^{2}-2(k-1)=10$,解得$k=4$.$\because k\leqslant5$,$\therefore k=4$满足题意.故$k$的值是4.

13. 新考向 地域文化 (曲靖期中)“灼灼媚眼沁桃花,皮薄肉胰人口佳.天女贪食怕人笑,强留云腿作琵琶.”其中提到的宣威火腿是云南著名地方特产之一,也是国家地理标志证明商标.某县大力推进宣威火腿产业发展,助力乡村振兴.已知该县 $2021$年生产宣威火腿 $657\mathrm{t}$,$2023$年产量达到 $795\mathrm{t}$.若设这两年宣威火腿产量的年平均增长率为 $x$,则可列方程为 (D)

A.$657(1 + x)=795$
B.$657(1 + x^{2})=795$
C.$657(1 - x)=795$
D.$657(1 + x)^{2}=795$

答案： D

14. 某学习小组的成员互赠新年贺卡,共用去 $42$张贺卡,则该学习小组有7名成员.

答案： 7

15. (云南师大实验中学昆明湖校区开学考)昆明湖中学提醒学生,骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商销售某品牌头盔,进价为 $30$元/个,经测算,当售价为 $40$元/个时,月销售量为 $600$个,若在此基础上每上涨 $1$元,则月销售量将减少 $10$个,设售价在 $40$元/个的基础上涨价 $x$元.
(1)用含有 $x$的代数式表示月销售量 $y$;
(2)为使月销售利润达到 $10000$元,而且尽可能让顾客得到实惠,则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个?

答案：
(1)根据题意,得$y=600-10x$.
(2)根据题意,得$(40+x-30)(600-10x)=10000$,整理,得$x^{2}-50x+400=0$,解得$x_{1}=10$,$x_{2}=40$.$\because$要尽可能让顾客得到实惠,$\therefore x=10$.$\therefore 40+x=40+10=50$.
答:该品牌头盔的实际售价应定为50元/个.

16. (昆明官渡区期末)如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为 $15\mathrm{m}$的住房墙,另外三边用 $27\mathrm{m}$长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个 $1\mathrm{m}$宽的门,所围矩形猪舍的长、宽分别为多少米时,猪舍面积为 $96\mathrm{m}^{2}$?

答案： 设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为$x\ m$,则平行于墙的一边长为$(27-2x+1)\ m$.根据题意,得$x(27-2x+1)=96$,解得$x_{1}=6$,$x_{2}=8$.当$x=6$时,$27-2x+1=16＞15$(舍去);当$x=8$时,$27-2x+1=12$.
答:所围矩形猪舍的长为12$\ m$,宽为8$\ m$.

17. 【整体思想】(温州中考)我们知道方程 $x^{2}+2x - 3 = 0$的解是 $x_{1}=1,x_{2}=-3$,现给出另一个方程 $(2x + 3)^{2}+2(2x + 3)-3 = 0$,它的解是 (D)

A.$x_{1}=1,x_{2}=3$
B.$x_{1}=1,x_{2}=-3$
C.$x_{1}=-1,x_{2}=3$
D.$x_{1}=-1,x_{2}=-3$

答案： D

18. 新考向 数学文化 (张家界中考)《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作,其中有一个数学问题:“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何”.意思是:一块矩形田地的面积为 $864$平方步,只知道它的长与宽共 $60$步,问它的长比宽多多少步? 根据题意得,长比宽多12步.

答案： 12