《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

知识点1 二次函数 $ y = ax^2 + k $ 的图象
抛物线 $ y = ax^2 + k $ 的对称轴是，顶点坐标为。二次函数 $ y = ax^2 + k $ 的图象与 $ y = ax^2 $ 的图象的形状完全，只是位置不同。二次函数 $ y = ax^2 + k $ 的图象可由 $ y = ax^2 $ 的图象上下平移得到(上加下减)，平移的距离为个单位长度。如：将抛物线 $ y = -3x^2 $ 向平移个单位长度后得到的抛物线为 $ y = -3x^2 + 2 $。

答案： 对称轴是 $y$ 轴（或 $x = 0$）；
顶点坐标为（0，$k$）；
形状完全相同；
平移的距离为 $|k|$；
向 上；
平移 2。

1. 二次函数 $ y = x^2 + 1 $ 的图象大致是(C)
]

答案： C

2. (昭通昭阳区期中)抛物线 $ y = -x^2 + 3 $ 的对称轴是y轴，顶点坐标是（0,3）。

答案： y轴 （0,3）

3. 已知抛物线 $ y = x^2 + a - 2 $ 的顶点在 $ x $ 轴的下方，则 $ a $ 的取值范围是$a＜2$。

答案： $a＜2$

4. (上海中考)如果将抛物线 $ y = x^2 $ 向上平移 $ 3 $ 个单位长度，那么所得新抛物线的解析式是$y=x^{2}+3$。

答案： $y=x^{2}+3$

5. (本课时 T4 变式)(昆明期末)将抛物线 $ y = x^2 + 1 $ 向下平移 $ 2 $ 个单位长度，得到抛物线的解析式为$y=x^{2}-1$。

答案： $y=x^{2}-1$

6. 在同一平面直角坐标系中，画出 $ y = \frac{1}{2}x^2 $，$ y = \frac{1}{2}x^2 - 1 $ 的图象。
（1）分别指出它们的开口方向、对称轴及顶点坐标；
（2）抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^2 - 1 $ 可由 $ y = \frac{1}{2}x^2 $ 经过怎样的平移得到？
]

答案： 解:
(1)图略.$y=\frac{1}{2}x^{2}$开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标(0,0);$y=\frac{1}{2}x^{2}-1$开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标(0,-1).
(2)抛物线$y=\frac{1}{2}x^{2}-1$可由抛物线$y=\frac{1}{2}x^{2}$向下平移1个单位长度得到.

知识点2 二次函数 $ y = ax^2 + k $ 的性质
对于抛物线 $ y = ax^2 + k $，若 $ a ＞ 0 $，当 $ x ＞ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而；当 $ x ＜ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而。若 $ a ＜ 0 $，当 $ x ＞ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而；当 $ x ＜ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而。

答案： 增大；减小；减小；增大

7. 已知二次函数 $ y = 3x^2 - 3 $。
(1)若点 $ P(m, 0) $ 在函数图象上，则点 $ P $ 的坐标为(1,0)或(-1,0)；
(2)函数图象与 $ y $ 轴的交点坐标为(0,-3)；
(3)当 $ x ＞ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；当 $ x ＜ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；
(4)因为 $ a ＞ 0 $，所以 $ y $ 有最小值，当 $ x = $0时，$ y $ 取最小值，是-3。

答案：
(1)(1,0)或(-1,0)
(2)(0,-3)
(3)增大 减小
(4)小 0 小 -3