《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

1. (云南中考) 如图, 在 $\triangle ABC$ 中, $D, E$ 分别为线段 $BC, BA$ 的中点. 设 $\triangle ABC$ 的面积为 $S_{1}$ , $\triangle EBD$ 的面积为 $S_{2}$ , 则 $\frac{S_{2}}{S_{1}}=$ （ ）

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{7}{8}$

答案： 1.B

2. (贵阳中考) 如图, 在 $\triangle ABC$ 中, $D$ 是边 $AB$ 上的点, $\angle B=\angle ACD, AC: AB=1: 2$ , 则 $\triangle ADC$ 与 $\triangle ACB$ 的周长比是 （ ）

A.$1: \sqrt{2}$
B.$1: 2$
C.$1: 3$
D.$1: 4$

答案： 2.B

3. (云南师大附中期中) 如图, 在 $\triangle ABC$ 中, $D, E$ 分别是边 $AB, BC$ 上的点, 且 $DE // AC$ . 若 $S_{\triangle BDE}: S_{\triangle CDE}=2: 3$ , 则 $S_{\triangle DOE}: S_{\triangle AOC}$ 的值为 （ ）

A.$\frac{9}{25}$
B.$\frac{9}{64}$
C.$\frac{4}{9}$
D.$\frac{4}{25}$
]

答案： 3.D

4. 如图, 在矩形 $ABCD$ 中, $E$ 是边 $BC$ 的中点, $DF \perp AE$ 于点 $F$ .
(1) 求证: $\frac{AF}{BE}=\frac{AD}{AE}$ ;

(2) 若 $AB=4, BC=6$ , 求 $AF$ 的长.

答案： 4.解:
(1)证明:
∵四边形 ABCD 为矩形,$DF⊥AE,\therefore ∠B=∠BAD=∠AFD=90^{\circ }.\therefore ∠BAE+∠EAD=∠EAD+∠FDA=90^{\circ }.\therefore ∠BAE=∠FDA.\therefore △ADF\backsim △EAB.\therefore \frac {AF}{BE}=\frac {AD}{AE}.$
(2)
∵E 为BC 的中点,$\therefore BE=\frac {1}{2}BC=3$.在$Rt△ABE$中,$AE=\sqrt {AB^{2}+BE^{2}}=\sqrt {4^{2}+3^{2}}=5.\because \frac {AF}{BE}=\frac {AD}{AE},\therefore \frac {AF}{3}=\frac {6}{5}.\therefore AF=\frac {18}{5}.$

5. (临沧凤庆县一模) 如图, $\triangle ABC$ 内接于 $\odot O$ , $D$ 为优弧 $AB$ 上的点, 弦 $CD$ 与 $AB$ 相交于点 $E$ , 且 $AC^{2}=AE \cdot AB$ , 延长 $DC$ 到点 $P$ , 使得 $PB=PE$ .
(1) 求证: $PB$ 是 $\odot O$ 的切线;
(2) 若 $E$ 是 $P D$ 的中点, $P B=4$ , 求 $P C$ 的长.
]

答案： 5.解:
(1)证明:连接 OA,OB,OA 与 CD 交于点 F.$\because AC^{2}=AE\cdot AB,\therefore \frac {AC}{AE}=\frac {AB}{AC}.\because ∠CAE=∠BAC,\therefore △ACE\backsim △ABC.\therefore ∠ACE=∠ABC.\therefore \widehat {AC}=\widehat {AD}.\therefore OA⊥CD.\therefore ∠AEF+∠OAB=90^{\circ }.\because PE=PB,\therefore ∠PEB=∠PBE.\because ∠PEB=∠AEF,\therefore ∠PBE+∠OAB=90^{\circ }.\because OA=OB,\therefore ∠OAB=∠OBA.\therefore ∠PBE+∠OBA=90^{\circ }.\therefore ∠PBO=90^{\circ }$,即$OB⊥PB$.又
∵OB为$\odot O$的半径,
∴PB 是$\odot O$的切线.
(2)连接 BD.
∵E 是 PD 的中点,$PB=4,\therefore PE=ED=PB=4.\therefore PD=8$.由
(1)得,$∠PEB=∠PBE,\widehat {AC}=\widehat {AD},\therefore ∠D+∠DBE=∠PBC+∠ABC,∠ABC=∠DBE.\therefore ∠D=∠PBC$.又$\because ∠BPC=∠DPB,\therefore △BPC\backsim △DPB.\therefore \frac {PB}{PD}=\frac {PC}{PB}.\therefore PB^{2}=PC\cdot PD.\therefore 4^{2}=8PC.\therefore PC=2.$