《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

9. (曲靖沾益区月考)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 与⊙O 的相切，与 AB 的延长线相交于点 C. 若∠C = 26°，则∠A 的度数为（ ）

A.26°
B.27°
C.32°
D.37°

答案： C

10. 新考向 真实情境 (玉溪模拟)为了落实“双减”政策，朝阳区一些学校在课后服务时段开设了与冬奥会项目冰壶有关的选修课. 如图，在冰壶比赛场地的一端画有一些同心圆作为营垒，其中有两个圆的半径分别约为 60 cm 和 180 cm，小明掷出一球恰好沿着小圆的切线滑行出界，则该球在大圆内滑行的路径 MN 的长度为____cm.

答案： $240\sqrt{2}$

11. (昆明盘龙区期末)如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，过点 C 的切线与 BA 的延长线相交于点 D，点 E 在$\widehat{BC}$上(不与点 B，C 重合)，连接 BE，CE. 若∠D = 40°，则∠BEC =____.

答案： 115°

12. (昆明官渡区期末)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 是 AB 延长线上的一点，AE⊥CD 交 DC 的延长线于点 E，CF⊥AB 于点 F，且 CE = CF.
(1)判断直线 DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；
(2)若 AB = 6，BD = 3，求 AE 的长.

答案： 解:
(1)DE 与⊙O 相切.证明:连接 OC.
∵AE⊥CD,CF⊥AB,且 CE=CF,
∴∠EAC=∠BAC.
∵OA=OC,
∴∠BAC=∠ACO.
∴∠EAC=∠ACO.
∴OC//AE.
∴∠E=∠OCD=90°.
∴OC⊥DE.又
∵OC 是⊙O 的半径,
∴DE 与⊙O 相切.
(2)
∵AB=6,
∴OB=OC= $\frac{1}{2}$AB=3.
∴OD=OB+BD=6,OB=BD.又
∵∠OCD=90°,
∴BC= $\frac{1}{2}$OD=3.
∴BC=OB=OC.
∴△OBC 是等边三角形.
∴∠COB=60°.
∴∠D=30°.在 Rt△ADE 中,AD=AB+BD=9,
∴AE= $\frac{1}{2}$AD= $\frac{9}{2}$.

13. 新考向 推理能力 (毕节中考)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，以 AC 为直径作⊙O 交 AB 于点 D，连接 CD.
(1)求证：∠A = ∠BCD；
(2)若 M 为线段 BC 上一点，试问当点 M 在什么位置时，直线 DM 与⊙O 相切？并说明理由.

答案： 解:
(1)证明:
∵AC 为⊙O 的直径,
∴∠ADC=90°.
∴∠A+∠DCA=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠DCB+∠ACD=90°.
∴∠DCB=∠A.
(2)当 MC=MD(或点 M 是 BC 的中点)时,直线 DM 与⊙O 相切.理由:连接 DO.
∵DO=CO,
∴∠ODC=∠OCD.
∵DM=CM,
∴∠MCD=∠MDC.
∵∠DCO+∠MCD=90°,
∴∠ODC+∠MDC=90°.又
∵OD 为⊙O 的半径,
∴直线 DM 与⊙O 相切.