《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

知识点 1 二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象和性质
二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 通过配方可化为 $ y = a(x + \frac{b}{2a})^{2} + \frac{4ac - b^{2}}{4a} $ 的形式，它的对称轴为直线 ，顶点坐标为 。如果 $ a ＞ 0 $，当 $ x ＜ -\frac{b}{2a} $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而 ，当 $ x ＞ -\frac{b}{2a} $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而 ；如果 $ a ＜ 0 $，当 $ x ＜ -\frac{b}{2a} $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而 ，当 $ x ＞ -\frac{b}{2a} $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而 。

答案： 直线$x = -\frac{b}{2a}$；$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$；减小；增大；增大；减小

1. 抛物线 $ y = -x^{2} + 6x - 9 $ 的顶点坐标为(C)

A.$ (-6, 4) $
B.$ (-3, 0) $
C.$ (3, 0) $
D.$ (-6, 0) $

答案： 1.C

2. 关于二次函数 $ y = 2x^{2} + 4x - 1 $，下列说法正确的是(B)

A.图象与 $ y $ 轴的交点坐标为 $ (0, 1) $
B.图象的对称轴在 $ y $ 轴的左侧
C.当 $ x ＜ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
D.图象开口向下

答案： 2.B

3. 已知 $ A(-2, y_{1}) $，$ B(2, y_{2}) $ 是抛物线 $ y = x^{2} - 2x - 3 $ 上的两点，则 $ y_{1} $，$ y_{2} $ 的大小关系为(C)

A.$ y_{1} = y_{2} $
B.$ y_{1} ＜ y_{2} $
C.$ y_{1} ＞ y_{2} $
D.$ y_{1} \geq y_{2} $

答案： 3.C

4. 已知二次函数 $ y = -2x^{2} - 8x - 6 $，当 $ x $ ＜-2 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；当 $ x = $ -2 时，$ y $ 有最 大 值，是 2。

答案： 4.＜-2 -2 大 2

5. 若二次函数 $ y = ax^{2} - x + a^{2} - 1 $ 的图象过原点且开口向上，则 $ a $ 的值是 1。

答案： 5.1

6. 二次函数 $ y = x^{2} + bx + 3 $ 的图象经过点 $ (3, 0) $。
（1）求 $ b $ 的值；
（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
（3）在所给平面直角坐标系中画出二次函数 $ y = x^{2} + bx + 3 $ 的图象。

答案： 6.解:
(1)将(3,0)代入函数解析式,得9+3b+3=0.解得b=-4.
(2)
∵y=x²-4x+3=(x-2)²-1,
∴顶点坐标是(2,-1),对称轴为直线x=2.
(3)图略.

7. (包头中考)将抛物线 $ y = x^{2} + 2x $ 向下平移 2 个单位长度后，所得新抛物线的顶点式为(A)

A.$ y = (x + 1)^{2} - 3 $
B.$ y = (x + 1)^{2} - 2 $
C.$ y = (x - 1)^{2} - 3 $
D.$ y = (x - 1)^{2} - 2 $

答案： 7.A

8. 将抛物线 $ y = x^{2} + 3x + 1 $ 先向左平移 1 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，得到的抛物线的解析式为 y=x²+5x+2。

答案： 8.y=x²+5x+2

9. 把二次函数 $ y = \frac{1}{2}x^{2} - 3x + 1 $ 化成 $ y = a(x - h)^{2} + k $ 的形式为 y=1/2(x-3)²-7/2。

答案： 9.y=1/2(x-3)²-7/2