《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

6. 如图,一次函数 $ y = m x + 4 $ 的图象与 $ x $ 轴相交于点 $ A $,与反比例函数 $ y = \frac { k } { x } ( x ＞ 0 ) $ 的图象相交于点 $ B ( 1, 6 ) $.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)点 $ P $ 是 $ x $ 轴上一点,若 $ S _ { \triangle A P B } = 18 $,直接写出点 $ P $ 的坐标.

答案：
(1)把 B(1,6)代入$y=mx+4$,得 6=m+4,解得 m=2,
∴一次函数的解析式是$y=2x+4$.把 B(1,6)代入$y=\frac {k}{x}$,得$6=\frac {k}{1}$,解得 k=6,
∴反比例函数的解析式是$y=\frac {6}{x}(x＞0)$.
(2)把 y=0代入$y=2x+4$,得$2x+4=0$,解得 x=-2,即 A(-2,0).
∵$S_{\triangle APB}=18,\therefore \frac {1}{2}AP×6=18$.
∴AP=6.分两种情况讨论:①当点 P 在点 A 的右侧时,
∵A(-2,0),
∴P(4,0);②当点 P 在点 A 的左侧时,P(-8,0).
∴点 P 的坐标是(4,0)或(-8,0).

7. (曲靖宣威市模拟)如图,一次函数 $ y = k x + b $ 与反比例函数 $ y = \frac { m } { x } $ 的图象相交于 $ A ( 1, 4 ) $,$ B ( 4, n ) $ 两点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)直接写出当 $ x ＞ 0 $ 时,$ k x + b ＜ \frac { m } { x } $ 的解集;
(3)$ P $ 是 $ x $ 轴上一动点,试确定点 $ P $ 的位置,使 $ P A + P B $ 的值最小,并求出它的坐标.

答案：
(1)把 A(1,4)代入$y=\frac {m}{x}$,得 m=4.
∴反比例函数的解析式为$y=\frac {4}{x}$.把 B(4,n)代入$y=\frac {4}{x}$,得 n=1,
∴B(4,1).把 A(1,4),B(4,1)代入$y=kx+b$,得$\left\{\begin{array}{l} k+b=4,\\ 4k+b=1,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} k=-1,\\ b=5.\end{array}\right. $
∴一次函数的解析式为$y=-x+5$.
(2)根据图象,得$0＜x＜1$或$x＞4$.
(3)作点 B 关于 x 轴的对称点$B'$,连接$AB'$,交 x 轴于点 P,此时$PA+PB=PA+PB'=AB'$最小.
∵B(4,1),
∴$B'(4,-1)$.设直线$AB'$的解析式为$y=px+q$,$\therefore \left\{\begin{array}{l} p+q=4,\\ 4p+q=-1,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} p=-\frac {5}{3},\\ q=\frac {17}{3}.\end{array}\right. $
∴直线$AB'$的解析式为$y=-\frac {5}{3}x+\frac {17}{3}$.令 y=0,得$-\frac {5}{3}x+\frac {17}{3}=0$,解得$x=\frac {17}{5}$.
∴点 P 的坐标为$(\frac {17}{5},0).$