《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

1. (1)当 $ x = $____时，二次函数 $ y = -x^{2} + 2x $ 有最____值，为____；
(2)当 $ x = $____时，二次函数 $ y = 2x^{2} - 2x + 3 $ 有最____值，为____.

答案： 1.
(1)1 大 1
(2)$\frac{1}{2}$ 小 $\frac{5}{2}$

2. 如图，将一根长 $ 2 \, m $ 的铁丝首尾相接围成矩形，则围成的矩形的面积的最大值是（ ）

A.$ \dfrac{1}{4} \, m^{2} $
B.$ \dfrac{1}{3} \, m^{2} $
C.$ \dfrac{1}{2} \, m^{2} $
D.$ 1 \, m^{2} $

答案： A

3. 已知一个直角三角形两直角边的和为 $ 20 \, cm $，则这个直角三角形的最大面积为____$ cm^{2} $.

答案： 50

4. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle B = 90^{\circ} $，$ AB = 8 \, cm $，$ BC = 6 \, cm $，点 $ P $ 从点 $ A $ 开始沿 $ AB $ 向点 $ B $ 以 $ 2 \, cm/s $ 的速度移动，点 $ Q $ 从点 $ B $ 开始沿 $ BC $ 向点 $ C $ 以 $ 1 \, cm/s $ 的速度移动，如果点 $ P $，$ Q $ 分别从点 $ A $，$ B $ 同时出发，当 $ \triangle PBQ $ 的面积为最大时，运动时间为____$ s $.

答案： 2

5. 将一根长为 $ 20 \, cm $ 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是____$ cm^{2} $.

答案： $\frac{25}{2}$

6. (滨州中考)某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体，抽屉底面周长为 $ 180 \, cm $，高为 $ 20 \, cm $. 请通过计算说明，当底面的宽 $ x $ 为何值时，抽屉的体积 $ y $ 最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）

答案： 解:根据题意,得$y=20x(\frac{180}{2}-x)=-20x^{2}+1800x=-20(x-45)^{2}+40500$.$\because -20＜0$,$\therefore$当$x=45$时,$y$有最大值,$y_{最大}=40500$.
答:当底面的宽为45cm时,抽屉的体积最大,最大为40500$cm^{3}$.

7. 手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为 $ 60 \, cm $，菱形的面积 $ S(cm^{2}) $ 随其中一条对角线的长 $ x(cm) $ 的变化而变化.
(1)请直接写出 $ S $ 与 $ x $ 之间的函数关系式（不要求写出自变量 $ x $ 的取值范围）；
(2)当 $ x $ 是多少时，菱形风筝面积 $ S $ 最大？最大面积是多少？

答案： 7.解:
(1)$S=-\frac{1}{2}x^{2}+30x$.
(2)$\because S=-\frac{1}{2}x^{2}+30x=-\frac{1}{2}(x-30)^{2}+450$,且$a=-\frac{1}{2}＜0$,$\therefore$当$x=30$时,$S$有最大值,最大值为450.
答:当$x$为30cm时,菱形风筝的面积最大,最大面积是450$cm^{2}$.