《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

12.(本课时 T4 变式)若抛物线 $ y = ax^{2}+3x - 1 $ 与 $ x $ 轴有公共点，则 $ a $ 的取值范围是$a\geqslant -\dfrac{9}{4}$且$a\neq 0$.

答案： 12.$a\geqslant -\dfrac{9}{4}$且$a\neq 0$

13.(昭通巧家县期中)如图，抛物线 $ y = ax^{2} $ 与直线 $ y = bx - c $ 的两个交点坐标分别为 $ A(-2,6) $，$ B(1,2) $，则方程 $ ax^{2}-bx + c = 0 $ 较大的根是1.

答案： 13.1

14.（曲靖期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线 $ y = x^{2}-4x + 2m + 1 $ 与 $ x $ 轴交于 $ A,B $ 两点.
（1）求 $ m $ 的取值范围；
（2）若 $ A,B $ 两点的横坐标分别为 $ x_{1},x_{2} $，且 $ x_{1}-x_{2}=2 $，求 $ m $ 的值.

答案： 14.解:
(1)由题意,得$\Delta =(-4)^{2}-4(2m+1)＞0$,$\therefore m＜\dfrac{3}{2}$.
(2)$\because x_{1},x_{2}$是$x^{2}-4x+2m+1=0$的两根,$\therefore x_{1}+x_{2}=4$.
$\therefore \begin{cases} x_{1}+x_{2}=4, \\ x_{1}-x_{2}=2, \end{cases}$解得$\begin{cases} x_{1}=3, \\ x_{2}=1. \end{cases}$$\therefore A(3,0)$,$B(1,0)$.$\because$抛物线过点$B(1,0)$,$\therefore 1-4+2m+1=0$.$\therefore m=1$.

15.（红河泸西县期末）已知抛物线 $ y = -x^{2}-4x + 1 + c $，点 $ A(1,2),B(-3,2) $.
（1）求抛物线的对称轴与顶点坐标；（用含 $ c $ 的式子表示）
（2）若抛物线与线段 $ AB $ 只有一个交点，求 $ c $ 的取值范围.

答案： 15.解:
(1)$\because y=-x^{2}-4x+1+c=-(x+2)^{2}+5+c$,$\therefore$抛物线的对称轴为直线$x=-2$,顶点坐标为$(-2,5+c)$.
(2)$\because A(1,2)$,$B(-3,2)$,$\therefore$线段$AB$与$x$轴平行.$\because$抛物线与线段$AB$只有一个交点,$\therefore$方程$-x^{2}-4x+1+c=2$只有一个解在$-3$到$1$之间.方程整理,得$x^{2}+4x+1-c=0$,解得$x_{1}=-2+\sqrt{c+3}$,$x_{2}=-2-\sqrt{c+3}$.①当$x_{1}=x_{2}$时,$3+c=0$,$c=-3$,符合题意;②当$-2+\sqrt{c+3}=1$时,$c=6$,此时$-2-\sqrt{c+3}=-5$,符合题意;③当$-2-\sqrt{c+3}=-3$时,$c=-2$,此时$-2+\sqrt{c+3}=-1$,不符合题意.综上所述,当$-2 ＜ c \leqslant 6$或$c=-3$时,抛物线与线段$AB$只有一个交点.