《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

1. 如图，已知二次函数 $ y = ax^{2}+bx + 3(a\neq0) $ 的图象经过点 $ A(3,0) $，$ B(4,1) $，且与 $ y $ 轴交于点 $ C $，则该二次函数的解析式为$y=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{5}{2}x+3$，点 $ C $ 的坐标为$(0,3)$。

答案： $y=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{5}{2}x+3$ $(0,3)$

2. 已知抛物线 $ y = ax^{2}+bx $ 经过点 $ A(-3,-3) $ 和点 $ B(-4,0) $，求 $ a $，$ b $ 的值，并指出此抛物线的开口方向。

答案： 解: 分别将$(-4,0)$和$(-3,-3)$代入$y=ax^{2}+bx$,得$\left\{\begin{array}{l} 0=16a-4b,\\ -3=9a-3b,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=1,\\ b=4.\end{array}\right. $
∴抛物线的解析式为$y=x^{2}+4x.$
∴此抛物线的开口向上.

3. 已知二次函数的图象经过点 $ (1,10) $，顶点坐标为 $ (-1,-2) $，则此二次函数的解析式为$y=3(x+1)^{2}-2$(或$y=3x^{2}+6x+1)$。

答案： $y=3(x+1)^{2}-2$(或$y=3x^{2}+6x+1)$

4. 某二次函数图象的顶点坐标为 $ (4,-3) $，且它与 $ x $ 轴的一个交点的横坐标为 $ 3 $，求该二次函数的解析式。

答案： 解:设该二次函数的解析式为$y=a(x-4)^{2}-3$,把$(3,0)$代入,得$0=a(3-4)^{2}-3$,解得$a=3$.故该二次函数的解析式为$y=3(x-4)^{2}-3.$

5. 如图，已知二次函数的图象与 $ x $ 轴交于点 $ A(1,0) $ 和点 $ B $，与 $ y $ 轴交于点 $ C(0,6) $，对称轴为直线 $ x = 2 $，求二次函数的解析式，并写出图象最低点的坐标。

答案： 解:设二次函数的解析式为$y=a(x-2)^{2}+k$.把$A(1,0),C(0,6)$代入,得$\left\{\begin{array}{l} a+k=0,\\ 4a+k=6,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=2,\\ k=-2.\end{array}\right. $
∴二次函数的解析式为$y=2(x-2)^{2}-2=2x^{2}-8x+6$,二次函数图象有最低点,即顶点坐标为$(2,-2).$

6. 如图，已知抛物线交 $ x $ 轴于 $ A $，$ B $ 两点，交 $ y $ 轴于点 $ C $，点 $ A $ 的坐标为 $ (-1,0) $，$ OC = 2 $，$ OB = 3 $，则抛物线的解析式为$y=-\frac{2}{3}(x+1)(x-3)$(或$y=-\frac{2}{3}x^{2}+\frac{4}{3}x+2)$。

答案： $y=-\frac{2}{3}(x+1)(x-3)$(或$y=-\frac{2}{3}x^{2}+\frac{4}{3}x+2)$

7. 已知抛物线 $ y = -x^{2}+2x + 1 $。
(1) 先向右平移 $ 3 $ 个单位长度，再向下平移 $ 2 $ 个单位长度所得抛物线的解析式为$y=-(x-4)^{2}$(或$y=-x^{2}+8x-16)$；
(2) 关于 $ x $ 轴对称的抛物线的解析式为$y=(x-1)^{2}-2$(或$y=x^{2}-2x-1)$；
(3) 关于 $ y $ 轴对称的抛物线的解析式为$y=-(x+1)^{2}+2$(或$y=-x^{2}-2x+1)$。

答案： 7.
(1)$y=-(x-4)^{2}$(或$y=-x^{2}+8x-16)$
(2)$y=(x-1)^{2}-2$(或$y=x^{2}-2x-1)$
(3)$y=-(x+1)^{2}+2$(或$y=-x^{2}-2x+1)$