《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

知识点1 利用“一般式”求二次函数解析式
已知抛物线上三个点的坐标，可设抛物线的解析式为。若二次函数$y = ax^{2}+bx + c$中$x$与$y$的部分对应值如下表：

则可得方程组$\begin{cases}16a- 4b + c =3,\\\underline{\quad\quad}=5,\\\underline{\quad\quad}=3.\end{cases}$

答案： $y = ax^{2}+bx + c$；$+$；$9a - 3b + c$；$4a - 2b + c$

1. 已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象经过点$(-1,0)$，$(0,-2)$，$(1,-2)$，则这个二次函数的解析式为$y=x^{2}-x-2$。

答案： $y=x^{2}-x-2$

2. 已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c$中$x$，$y$的部分对应值如下表，则该二次函数的解析式为$y=x^{2}-3x+1$，$m$的值为5。

答案： $y=x^{2}-3x+1$ 5

3. （温州中考）已知抛物线$y = ax^{2}+bx + 1$经过点$(1,-2)$，$(-2,13)$。
(1) 求$a$，$b$的值；
(2) 若$(5,y_{1})$，$(m,y_{2})$是抛物线上不同的两点，且$y_{2}=12 - y_{1}$，求$m$的值。

答案： 3. 解：
(1)把$(1,-2),(-2,13)$代入$y=ax^{2}+bx+1$，得$\left\{\begin{array}{l} -2=a+b+1,\\ 13=4a-2b+1,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=1,\\ b=-4.\end{array}\right. $
(2)由
(1)得函数解析式为$y=x^{2}-4x+1$，把$x=5$代入$y=x^{2}-4x+1$，得$y_{1}=6,\therefore y_{2}=12-y_{1}=6.\because y_{1}=y_{2}$，抛物线的对称轴为直线$x=2,\therefore m=4-5=-1.$

知识点2 利用“顶点式”求二次函数解析式
如果已知抛物线的顶点坐标$(h,k)$及抛物线上另一点的坐标，可设抛物线的解析式为。

答案： $y=a(x - h)^2 + k$（$a\neq0$）

4. 若抛物线的顶点坐标是$(-2,1)$且经过点$(1,-8)$，则该抛物线的解析式是$y=-(x+2)^{2}+1$。

答案： $y=-(x+2)^{2}+1$

5. 二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为$y=-\frac {1}{2}(x-2)^{2}+3$。

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答案： $y=-\frac {1}{2}(x-2)^{2}+3$

知识点3 利用“交点式”求二次函数解析式
已知抛物线与$x$轴的两个交点坐标$(x_{1},0)$，$(x_{2},0)$及抛物线上任意一点的坐标，可设抛物线的解析式为________。

答案： $y=a(x - x_{1})(x - x_{2})$（$a≠0$）

6. 已知抛物线与$x$轴交于$A(-1,0)$，$B(5,0)$两点，与$y$轴交于点$C(0,5)$。可设该二次函数的解析式为$y = a(x +1\underline{\quad\quad})(x -5\underline{\quad\quad})$，将$C(0,5)$代入，得方程$-5a=5$，解得$a$-1$=\underline{\quad\quad}$，故该二次函数的解析式为$y=-x^{2}+4x+5$。

答案： 1 5 $-5a=5$ $-1$ $y=-x^{2}+4x+5$

7. (教材9上P40练习T2变式)经过$A(4,0)$，$B(-2,0)$，$C(0,3)$三点的抛物线的解析式是$y=-\frac {3}{8}x^{2}+\frac {3}{4}x+3$。

答案： $y=-\frac {3}{8}x^{2}+\frac {3}{4}x+3$