《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版云南专版》

10. 下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；③三角形的外心到三角形三边的距离相等；④圆有且只有一个内接三角形。其中正确的是____。(填序号)

答案： 10.②

11. 已知$\odot O$的半径为$1$，点$P$到圆心$O$的距离为$d$。若关于$x$的方程$x^{2}-2x + d = 0$有实数根，则点$P$（ ）

A.在$\odot O$的内部
B.在$\odot O$的外部
C.在$\odot O$上
D.在$\odot O$上或$\odot O$的内部

答案： 11.D

12. (昆明十中月考)若$O$为$\triangle ABC$的外心，且$\angle BOC = 60^{\circ}$，则$\angle BAC=$____。

答案： 12.$30°$或$150°$

13. (临沂中考)如图，在$\triangle ABC$中，$\angle A = 60^{\circ}$，$BC = 5\mathrm{cm}$，能够将$\triangle ABC$完全覆盖的最小圆形纸片的直径是____$\mathrm{cm}$。

答案： 13.$\dfrac{10\sqrt{3}}{3}$

14. 新考向 真实情境 如图，要把残破的圆片复原完整。已知弧上的三点$A$，$B$，$C$。
(1)用尺规作图法找出$\overset{\frown}{BAC}$所在圆的圆心；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)设$\triangle ABC$是等腰三角形，底边$BC = 8\mathrm{cm}$，腰$AB = 5\mathrm{cm}$。求圆片的半径$R$。

答案： 14.解:
(1)分别作$AB$,$AC$的垂直平分线,设交点为$O$,则$O$为所求圆的圆心,图略.
(2)连接$AO$交$BC$于点$E$.$\because AB=AC$,$\therefore AE\perp BC$,$BE=\dfrac{1}{2}BC=4$.在$Rt\triangle ABE$中,$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$.连接$OB$,在$Rt\triangle BEO$中,$OB^2=BE^2+OE^2$,即$R^2=4^2+(R-3)^2$,解得$R=\dfrac{25}{6}$.即所求圆片的半径$R$为$\dfrac{25}{6}\ cm$.

15. 已知：如图1，在$\triangle ABC$中，$BA = BC$，$D$是平面内不与$A$，$B$，$C$重合的任意一点，$\angle ABC = \angle DBE$，$BD = BE$。
(1)求证：$\triangle ABD\cong\triangle CBE$；
(2)如图2，当点$D$是$\triangle ABC$的外接圆圆心时，请判断四边形$BECD$的形状，并证明你的结论。

答案： 15.解:
(1)证明:$\because \angle ABC=\angle DBE$,$\therefore \angle ABD=\angle CBE$.又$\because BA=BC$,$BD=BE$,$\therefore \triangle ABD\cong\triangle CBE(SAS)$.
(2)四边形$BECD$是菱形.证明:$\because \triangle ABD\cong\triangle CBE$,$\therefore CE=AD$.点$D$是$\triangle ABC$的外接圆圆心,$\therefore DA=DB=DC$.又$\because BD=BE$,$\therefore BD=BE=EC=CD$.$\therefore$四边形$BECD$是菱形.