《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

例 1 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑白两种颜色的球共 100 只,某学习小组做摸球实验,每摸一球,即把它放回袋中,不断重复,下表是活动进行中的一组统计数据.

(1)请估计：当 $ n $ 很大时,摸到白球的频率将会接近多少？
(2)试估算口袋中黑白两种颜色的球各有多少只.
【思路导析】用频率去估计概率,$ P $(白)$ = 0.6 $,$ P $(黑)$ = 0.4 $.
【请你解答】

答案：
(1)频率接近0.6,P(白)=0.6;
(2)P(白)=0.6，100×0.6 = 60，100 - 60 = 40，160只球中白球为60只，黑球为40只。

例

2 某水果公司以 1.5 元/千克的成本新进了 20 000 千克雪梨,销售人员首先从所有的雪梨中随机地抽取若干雪梨,进行了“雪梨损坏率”统计,并把获得的数据记录在下表中.


(1)请你完成此表；
(2)如果公司希望这些雪梨能获得税前利润 10 000 元. 那么在出售雪梨(已去掉损坏的雪梨)时,每千克大约定价为多少元比较合适？

答案： 【探究点拨】
(1)运用 $ \frac{m}{n} $ 计算；
(2)运用频率估计概率,利润 $ = $(售价 $ - $ 进价)$ × $ 完好雪梨的质量.
【规范解答】
(1)结果为(从上至下)：0.101,0.097,0.097,0.103,0.101,0.098,0.099,0.103.
(2)从表中可以看出,雪梨损坏的频率在常数 0.1 左右摆动,并且随统计量的增加这种规律逐渐明显,那么可以把雪梨损坏的概率估计为这个常数,即雪梨损坏的概率为 0.1,则相应完好的雪梨的概率为 0.9.
在 20 000 千克雪梨中完好雪梨的质量为 $ 20 000 × 0.9 = 18 000 $(千克),
完好雪梨的实际成本为：
$ \frac{1.5 × 20 000}{18 000} = \frac{5}{3} \approx 1.67 $(元/千克).
设每千克雪梨的售价为 $ x $ 元,则有
$ (x - 1.67) × 18 000 = 10 000 $,
解得 $ x \approx 2.23 $.
因此,出售雪梨时每千克大约定价为 2.23 元,可获税前利润 10 000 元.

小明的一串钥匙共有 4 把,小明想找出哪把是防盗门的钥匙. 你能说明他第一次试开就成功的概率有多大吗？用计算器或其他替代物模拟试验的方法分析说明.

答案： P = $\frac{1}{4}$(方法一:可以用一枚正四面体骰子，掷得4点为试开成功;方法二:可以用4张扑克，红桃、黑桃、方块、梅花各一张，摸到红桃为试开成功;方法三:可用计算器模拟，在1~4之间产生一个随机数，若产生的是1，则表示试开成功。)