《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

例 1 在同一坐标系中画出 $ y = 2x^2 $,$ y = 2x^2 + 2 $,$ y = 2x^2 - 2 $ 的图象,并写出各自的顶点坐标。
【思路导析】先画图象,再根据图象写顶点坐标。
【请你解答】

答案：
如图 $y=2x^{2}$的顶点坐标为$(0,0)$,$y=2x^{2}+2$的顶点坐标为$(0,2)$,$y=2x^{2}-2$的顶点坐标为$(0,-2)$.

例 2 (1)指出二次函数 $ y = -3x^2 + 1 $ 的图象的开口方向、顶点坐标及对称轴；
(2)二次函数 $ y = -3x^2 + 1 $ 的图象与 $ y = -3x^2 $ 的图象有何关系？
【思路导析】通过画图象进行分析比较。
【请你解答】

答案：
(1)开口向下,顶点坐标$(0,1)$,对称轴为直线$x=0$;
(2)把$y=-3x^{2}$的图象向上平移1个单位长度就得到$y=-3x^{2}+1$的图象.

例 3 抛物线 $ y = ax^2 + c $ 的顶点是 $ A(0, 2) $,且形状及开口方向与 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $ 相同。
(1)确定 $ a $,$ c $ 的值,并写出此抛物线的解析式；
(2)此抛物线可以看作是把 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $ 的图象经过怎样的平移得到的？

答案： 【探究点拨】
(1)$ a $ 确定抛物线形状及开口方向；
(2)比较顶点。
【规范解答】
(1)由抛物线 $ y = ax^2 + c $ 与 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $ 的形状和开口方向相同,知 $ a = -\frac{1}{2} $。
把 $ A(0, 2) $ 代入 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + c $,
得 $ c = 2 $。
∴该抛物线的解析式为 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + 2 $。
(2)由于抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $ 的顶点为 $ (0, 0) $,
而 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + 2 $ 的顶点为 $ (0, 2) $,
∴抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + 2 $ 是由抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $ 向上平移 $ 2 $ 个单位长度得到的。

1. 下列说法不正确的是(C)
A.抛物线 $ y = 2x^2 - 1 $ 是由抛物线 $ y = 2x^2 $ 向下平移 $ 1 $ 个单位长度得到的
B.抛物线 $ y = -2x^2 + 1 $,其对称轴为 $ y $ 轴,顶点坐标为 $ (0, 1) $
C.抛物线 $ y = 1 + x^2 $ 的对称轴为 $ x $ 轴
D.将抛物线 $ y = x^2 $ 向上平移 $ 2 $ 个单位长度得抛物线 $ y = x^2 + 2 $

答案： C

2. 已知二次函数 $ y = (k + 2)x^2 + k^2 - 3 $ 的图象经过点 $ (1, 5) $,且该抛物线有最高点,则 $ k $ 的值为(B)
A.$ 2 $
B.$ -3 $
C.$ -3 $ 或 $ 2 $
D.$ -2 $ 或 $ 3 $

答案： B