《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

例1 已知直角三角形的两直角边的和为20,写出其面积$ y 与其中一条直角边 x $之间的函数关系式.
【思路导析】因为直角三角形的一直角边为$ x $,则另一直角边为$ 20 - x $,根据直角三角形的面积公式可求$ y 与 x $之间的函数关系式.
【请你解答】

答案： $y=\frac{1}{2}x(20 - x)=-\frac{1}{2}x^{2}+10x(0 ＜ x ＜ 20)$

例2 用$ 20 m $长的竹篱笆围成一个矩形,矩形的一边长为$ x m $,面积为$ y m^{2} $,当面积最大时,边长为多少？
【思路导析】由矩形的面积$ =长 × $宽,建立函数关系式,由二次函数的性质求解.
【请你解答】

答案： $y=x(10 - x)=-x^{2}+10x=-(x - 5)^{2}+25$,当$x = 5$时,$y$最大.即面积最大时边长为$5m$.

例

3 星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为$ 30 m $的篱笆围成. 已知墙长为$ 18 m $(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为$ x m $.

(1) 若平行于墙的一边的长为$ y m $,直接写出$ y 与 x 之间的函数关系式及其自变量 x $的取值范围；
(2) 垂直于墙的一边的长为多少米时,这个苗圃园的面积最大？并求出这个最大值；
(3) 当这个苗圃园的面积不小于$ 88 m^{2} $时,试结合函数图象,直接写出$ x $的取值范围.

答案：
【探究点拨】
(1) 求自变量$ x $的取值范围要考虑墙长；
(2) 可用配方法也可用公式法求最大值；
(3) 画出图象进行分析.
【规范解答】
(1)$ y = 30 - 2x $,$ 6 \leqslant x \lt 15 $.
(2) 设矩形的面积为$ S $,则
$ S = xy = x(30 - 2x) = -2x^{2} + 30x $
$ = -2(x - 7.5)^{2} + 112.5 $.
由
(1)知$ 6 \leqslant x \lt 15 $,所以当$ x = 7.5 $时,
$ S_{最大值} = 112.5 $.

即当苗圃园垂直于墙的一边的长为$ 7.5 m $时,这个苗圃园的面积最大,最大值为$ 112.5 m^{2} $.
(3) 令$ -2x^{2} + 30x = 88 $,变形为$ x^{2} - 15x + 44 = 0 $,
解得$ x_{1} = 4 $,$ x_{2} = 11 $.
画草图如图所示,$ 4 \leqslant x \leqslant 11 $.
又结合$ 6 \leqslant x \lt 15 $知,当$ y \geqslant 88 $时,$ 6 \leqslant x \leqslant 11 $.

1. 如图,有长为$ 24 m $的篱笆,利用一面墙(墙的最大可用长度为$ 10 m $),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,设花圃的宽$ AB 为 x m $,面积为$ S m^{2} $.
(1) 求$ S 与 x $的函数关系,并写出自变量$ x $的取值范围；

(2) 当$ x 取何值时 S $有最大值？并求出最大值.

答案：
(1)$S=x(24 - 3x)=-3x^{2}+24x$,$\frac{14}{3}\leqslant x ＜ 8$.
(2)$S=-3(x - 4)^{2}+48$.当$\frac{14}{3}\leqslant x ＜ 8$时,只有$x=\frac{14}{3}$时,$y_{最大值}=46\frac{2}{3}$.