《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

例

1 (1)正多边形的外接圆或内切圆的______叫做正多边形的中心,正多边形的______圆的半径叫做正多边形的半径。
(2)下列说法,不正确的是( )
A. 正多边形一定有一个外接圆和一个内切圆
B. 各边相等、各角相等的多边形是正多边形
C. 正多边形的内切圆与外接圆是同心圆
D. 正多边形既是轴对称又是中心对称图形
【思路导析】运用正多边形的有关定义性质解答。
【请你解答】(1)圆心；外接；(2)(D)。

答案：
(1)圆心,外接;
(2)D

例 2 如图,⊙O 的半径为 2,正八边形 ABCDEFGH 内接于⊙O,对角线 CE,DF 相交于点 M,求△MEF 的面积。
【思路导析】设 OE 交 DF 于点 N,由正八边形的性质得出 DE = FE,∠EOF = $\frac{360^{\circ}}{8}$ = 45°,$\overset{\frown}{DE}$ = $\overset{\frown}{FE}$,由垂径定理得出∠OEF = ∠OFE = ∠OED,OE ⊥ DF,得出△ONF 是等腰直角三角形,因此 ON = FN = $\frac{\sqrt{2}}{2}$OF = $\sqrt{2}$,∠OFM = 45°,得出 EN = OE - ON = 2 - $\sqrt{2}$。易证△EMN 是等腰直角三角形,得 MN = EN,则 MF = OE = 2,由三角形面积公式即可得出结果。

【请你解答】

答案： $2-\sqrt{2}$

例 3 如图,点 A,B,C 把⊙O 分成三等份,经过各点作圆的切线,以相邻的切线交点为顶点的三角形是这个圆的外切正三角形,若正三角形 ABC 的外接圆半径为 2,求外切正三角形的边长。

答案：
【探究点拨】正三角形 ABC 的外接圆半径即为⊙O 的半径,故 OA = 2,在△AB'O 中,∠OB'A = 30°,OA = 2,OB' = 2OA = 4。运用勾股定理求 AB'。

【规范解答】连接 OA,OB',因为 OA = 2,OA ⊥ B'C',∠OB'A = 30°。
∴ OB' = 2OA = 2×2 = 4。
在 Rt△OAB'中,
AB' = $\sqrt{B'O^{2} - OA^{2}}$
= $\sqrt{4^{2} - 2^{2}}$
= $\sqrt{12}$ = 2$\sqrt{3}$。
即 B'C' = 2AB' = 4$\sqrt{3}$。

1. 如图,求半径为 2 的圆的内接正方形的边心距及边长。

答案： 连接OB,OC,作$OM\perp BC$于M,$OB^2=OM^2+BM^2$,$\therefore OM=\sqrt{2}$.边心距为$\sqrt{2}$,边长$BC=2\sqrt{2}$.

2. 如图,已知正六边形的内切圆半径为 R,求这个正六边形的边长和面积。

答案： 边长为$\frac{2\sqrt{3}}{3}R$,面积为$2\sqrt{3}R^2$.