《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

例1
已知一元二次方程$x^{2}+2x - 3 = 0的两个实数根分别为x_{1},x_{2}$,不解方程,求下列各式的值：
(1)$x_{1}+x_{2}$； (2)$x_{1}x_{2}$。
【思路导析】运用一元二次方程的根与系数的关系求解。
【请你解答】

答案：
(1)$x_{1}+x_{2}=-2$;
(2)$x_{1}x_{2}=-3$

例2
求以$\frac{1}{2}和-2$为根的一元二次方程。
【思路导析】设一个一元二次方程的两根之和为$p$,两根之积为$q$,则这个一元二次方程为$x^{2}-px + q = 0$,依题意有$\frac{1}{2}+(-2)= p$,$\frac{1}{2}×(-2)= q$,即可求出$p,q$的值,进而求出该一元二次方程。
【请你解答】

答案： $x^{2}+\frac {3}{2}x-1=0$

例3
已知关于$x的一元二次方程x^{2}+(2m - 4)x + m^{2}-3m + 3 = 0有两个实数根x_{1},x_{2}$,且$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 2$,试求$m$的取值范围。

答案： 【探究点拨】$m$应满足下列两个条件：①$(2m - 4)^{2}-4×1×(m^{2}-3m + 3)\geqslant0$；②$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}= 2$。
【规范解答】由$(2m - 4)^{2}-4×1×(m^{2}-3m + 3)= 4m^{2}-16m + 16 - 4m^{2}+12m - 12 = 4 - 4m\geqslant0$,得$m\leqslant1$。
而$x_{1}+x_{2}= 4 - 2m$,$x_{1}x_{2}= m^{2}-3m + 3$,
且$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}= 2$,
$\therefore(4 - 2m)^{2}-2(m^{2}-3m + 3)= 2$,
即$m^{2}-5m + 4 = 0$,
解得$m_{1}= 1$,$m_{2}= 4$。
又$\because m\leqslant1$,$\therefore m = 1$。

1. 已知$x_{1},x_{2}是一元二次方程2x^{2}-kx - 3 = 0$的两个实数根,且$x_{1}+x_{2}-2x_{1}x_{2}= 0$,求$k$的值。

答案： $x_{1}+x_{2}=\frac {k}{2},x_{1}x_{2}=-\frac {3}{2},$则有$\frac {k}{2}-2×(-\frac {3}{2})=0$,解得$k=-6.$

2. 已知$x_{1},x_{2}是一元二次方程3x^{2}-8x + 5 = 0$的两个实数根,不解方程,求下列各式的值。
(1)$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$； (2)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$。

答案： $x_{1}+x_{2}=\frac {8}{3},x_{1}x_{2}=\frac {5}{3}.$
(1)$\frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}}=\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac {\frac {8}{3}}{\frac {5}{3}}=\frac {8}{5};$
(2)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=(\frac {8}{3})^{2}-2×\frac {5}{3}=\frac {64}{9}-\frac {30}{9}=\frac {34}{9}.$