《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

例 1 已知△ABC 与△DEF 相似,且对应角平分线的比为 2:3,求它们对应高的比。
【思路导析】相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
【请你解答】

答案： 2:3

例 2 如图,△ABC 中,DE//BC,DE 分别交 AB,AC 于点 D,E,若 AD:AB = 1:3,则△ADE 与△ABC 的面积的比为(D)

A.1:3
B.1:6
C.1:8
D.1:9
【思路导析】△ADE∽△ABC。
【请你解答】______。

答案： D

例 3 如图,△ABC 是一块锐角三角形余料,边 BC = 120mm,高 AD = 80mm,要把它加工成矩形零件,使矩形的一边落在 BC 上,其余两个顶点分别在 AB,AC 上,若矩形的长是宽的 2 倍,求这个矩形零件的各边长。

答案： 【探究点拨】可用未知数表示矩形的长和宽,利用相似三角形对应高的比等于相似比列比例式求解。
【规范解答】设矩形的宽为 x mm,则长为 2x mm。
∵PN//BC,
∴△APN∽△ABC,
∴$\frac{AE}{AD}= \frac{PN}{BC}$。(相似三角形对应高的比等于相似比)
∴$\frac{80 - x}{80}= \frac{2x}{120}$,解得$x = \frac{240}{7}$,
∴$2x = \frac{480}{7}$。
答：矩形零件的长为$\frac{480}{7}$mm,宽为$\frac{240}{7}$mm。

1. 如图,在□ABCD 中,E 为 AD 的中点,连 BE 并延长交 CD 的延长线于点 F,则△AEB 的周长与△BCF 的周长的比为(A)

A.1:2
B.1:3
C.1:4
D.1:5

答案： A

2. 如图,已知 EF//BC,△AEF 和梯形 EBCF 的面积分别为$ 18cm^2,80cm^2,$则 AE:EB 的值为$\frac{3}{4}$。

答案： $\frac{3}{4}$

3. 如图,D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上的点,且 DE//AC,AE,CD 相交于点 O。若$S_{△DOE}:S_{△COA}= 1:25$,求$S_{△BDE}与S_{△CDE}$的比。

答案： 1:4