《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

1. 如图所示,点 $ A $ 的坐标为 $ (3,0) $,点 $ B $ 的坐标为 $ (1,3) $,现将 $ \triangle AOB $ 扩大 3 倍后得 $ \triangle A'OB' $,则点 $ A' $,$ B' $ 的坐标分别为$A'(9,0)$,$B'(3,9)$。

答案： $A'(9,0)$,$B'(3,9)$

2. 在平面直角坐标系中,点 $ C $,$ D $ 的坐标分别为 $ (2,3) $,$ (1,0) $,现以原点为位似中心,将线段 $ CD $ 放大得到线段 $ AB $。若点 $ D $ 的对应点 $ B $ 在 $ x $ 轴上且 $ OB = 2 $,则点 $ C $ 的对应点 $ A $ 的坐标为$(4,6)$或$(-4,-6)$。

答案： $(4,6)$或$(-4,-6)$

3. 如图,在直角坐标系中,$ \triangle ABC $ 与 $ \triangle ODE $ 是位似图形,则它们位似中心的坐标是(4,2)。

答案： $(4,2)$

4. 如图,正方形 $ ABCD $ 的两边 $ BC $,$ AB $ 分别在平面直角坐标系的 $ x $ 轴,$ y $ 轴的正半轴上,正方形 $ A'B'C'D' $ 与正方形 $ ABCD $ 是以 $ AC $ 的中点 $ O' $ 为位似中心的位似图形。已知 $ AC = 3\sqrt{2} $,若点 $ A' $ 的坐标为 $ (1,2) $,则正方形 $ A'B'C'D' $ 与正方形 $ ABCD $ 的相似比是(B)

A.$ \frac{1}{6} $
B.$ \frac{1}{3} $
C.$ \frac{1}{2} $
D.$ \frac{2}{3} $

答案： B

5. 如图,已知函数 $ y = -2x + 4 $ 的图象与 $ x $ 轴,$ y $ 轴分别交于 $ A $,$ B $ 两点,函数 $ y = kx + b $ 的图象与 $ y = -2x + 4 $ 的图象平行。
(2) 若函数 $ y = kx + b $ 的图象与两坐标轴围成的三角形和 $ \triangle AOB $ 构成位似图形,位似中心为原点,相似比为 $ 1:2 $,求函数 $ y = kx + b $ 的解析式。

答案： 有两种情况:①不经过第三象限时,过点$(1,0)$和$(0,2)$,这时解析式为$y=-2x+2$;②不经过第一象限时,过点$(-1,0)$和$(0,-2)$,这时解析式为$y=-2x-2$.

6. 如图,$ \triangle ABC $ 的顶点坐标分别为 $ A(1,3) $,$ B(4,2) $,$ C(2,1) $。
(1) 作出与 $ \triangle ABC $ 关于 $ x $ 轴对称的 $ \triangle A_1B_1C_1 $,并写出 $ A_1 $,$ B_1 $,$ C_1 $ 的坐标；
(2) 以原点 $ O $ 为位似中心,在原点的另一侧画出 $ \triangle A_2B_2C_2 $,使 $ \frac{AB}{A_2B_2} = \frac{1}{2} $。

答案：
(1)$A_{1}(1,-3)$,$B_{1}(4,-2)$,$C_{1}(2,-1)$.
(2)略

7. 如图,$ \triangle ABC $ 的两个顶点 $ B $,$ C $ 均在第一象限,以点 $ A(0,1) $ 为位似中心,在 $ y $ 轴左侧作 $ \triangle ABC $ 的位似图形 $ \triangle ADE $,$ \triangle ABC $ 与 $ \triangle ADE $ 的相似比为 $ 1:2 $。若点 $ C $ 的纵坐标为 $ m $,求其对应点 $ E $ 的纵坐标。

答案： 过点$E$作$EF\perp y$轴于点$F$,过点$C$作$CG\perp y$轴于点$G$,则$\angle EFA=\angle CGA=90^{\circ}$.又$\because\angle CAG=\angle EAF$,$\therefore\triangle CGA\backsim\triangle EFA$.$\therefore\dfrac{GA}{FA}=\dfrac{CA}{EA}$.$\because\triangle ABC\backsim\triangle ADE$,且相似比为$\dfrac{1}{2}$,$\therefore\dfrac{GA}{FA}=\dfrac{CA}{EA}=\dfrac{1}{2}$.$\because$点$C$的纵坐标是$m$,点$A$的坐标是$(0,1)$,$\therefore GA=m-1$,$\therefore AF=2(m-1)$,$\therefore$点$E$的纵坐标是$1-2(m-1)=3-2m$.