《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

例 1 在同一坐标系中画出 $ y = \frac{1}{2}x^{2} $,$ y = -\frac{1}{2}x^{2} $ 的图象。

【思路导析】利用列表、描点、连线的方法画图象。
【请你解答】

答案：

例 2 关于二次函数 $ y = 3x^{2} $ 的图象,下列说法不正确的是(D)
A.因为 $ a = 3 ＞ 0 $,所以图象开口向上
B.对称轴是 $ y $ 轴(或直线 $ x = 0 $)
C.抛物线的顶点为 $ (0,0) $
D.当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
【思路导析】运用二次函数 $ y = ax^{2} $ 的性质判断。
【请你解答】 。

答案： D

例 3 若抛物线 $ y = (1 + m)x^{m^{2} - 1} $ 的开口向下。
(1)求 $ m $ 的值；
(2)若 $ A(-1,y_{1}) $,$ B(-2,y_{2}) $ 在抛物线上,试比较 $ y_{1} $ 与 $ y_{2} $ 的大小。

答案： 【探究点拨】
(1)$ 1 + m ＜ 0 $,且 $ m^{2} - 1 = 2 $ 即可；
(2)可用求函数值、画图象及二次函数图象的性质等方法求解。
【规范解答】
(1)$ \begin{cases} m^{2} - 1 = 2, \\ 1 + m ＜ 0, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} m = \pm\sqrt{3}, \\ m ＜ -1. \end{cases} $
$ \therefore m = -\sqrt{3} $。
(2)当 $ x = -1 $ 时,$ y_{1} = (1 - \sqrt{3}) × (-1)^{2} = 1 - \sqrt{3} $；
当 $ x = -2 $ 时,$ y_{2} = (1 - \sqrt{3}) × (-2)^{2} = 4 - 4\sqrt{3} $。
$ \because 1 - \sqrt{3} ＞ 4 - 4\sqrt{3} $,$ \therefore y_{1} ＞ y_{2} $。

1. 二次函数 $ y = 4x^{2} $ 的图象是抛物线,它的开口向上,对称轴是y轴,顶点的坐标为(0,0),该抛物线有最低点(填“高”或“低”)。当 $ x = 2 $ 时,$ y = $16；当 $ y = 4 $ 时,$ x = $±1。

答案： 上，y，(0,0)，低，16，±1

2. 分别求出符合下列条件的抛物线 $ y = ax^{2}(a \neq 0) $ 的解析式：
(1)经过点 $ (3,-9) $；
(2)与抛物线 $ y = -\frac{3}{2}x^{2} $ 的开口大小相同。

答案： $(1)$求经过点$(3, - 9)$的抛物线解析式
解：已知抛物线$y = ax^{2}(a\neq0)$经过点$(3, - 9)$，将点$(3, - 9)$代入抛物线方程$y = ax^{2}$中，可得：
$-9=a×3^{2}$，即$-9 = 9a$，
两边同时除以$9$，解得$a=-1$。
所以，此时抛物线的解析式为$y=-x^{2}$。
$(2)$求与抛物线$y = -\frac{3}{2}x^{2}$开口大小相同的抛物线解析式
解：对于抛物线$y = ax^{2}(a\neq0)$，$\vert a\vert$决定抛物线的开口大小。
已知抛物线$y = -\frac{3}{2}x^{2}$，则$\vert a\vert=\vert-\frac{3}{2}\vert=\frac{3}{2}$，
所以$a = \frac{3}{2}$或$a=-\frac{3}{2}$。
那么，抛物线的解析式为$y=\frac{3}{2}x^{2}$或$y = -\frac{3}{2}x^{2}$。
综上，$(1)$抛物线解析式为$\boldsymbol{y=-x^{2}}$；$(2)$抛物线解析式为$\boldsymbol{y=\frac{3}{2}x^{2}}$或$\boldsymbol{y = -\frac{3}{2}x^{2}}$。