《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

1. 如图,$ P $ 是 $ Rt \triangle ABC $ 的斜边 $ BC $ 上异于 $ B $,$ C $ 的一点,过点 $ P $ 作直线截 $ \triangle ABC $,使截得的三角形与 $ \triangle ABC $ 相似,满足这样条件的直线共有3条。

答案： 3

2. 如图,已知 $ AB \perp BD $,$ ED \perp CD $,$ C $ 是线段 $ BD $ 的中点,且 $ AC \perp CE $,$ ED = 1 $,$ BD = 4 $,那么 $ AB = $4。

答案： 4

3. 如图,将一个直角的顶点 $ P $ 放在矩形 $ ABCD $ 的对角线 $ BD $ 上滑动,并使其一条直角边始终经过点 $ A $,另一条直角边与边 $ BC $ 相交于点 $ E $,且 $ AD = 8 $,$ DC = 6 $,则 $ \frac{AP}{PE} = $$\frac{4}{3}$。

答案： $\frac{4}{3}$

4. 如图,$ \triangle ABC $ 中,$ CD \perp AB $ 于点 $ D $,能判定 $ \triangle ADC $ 与 $ \triangle CBD $ 相似的有(D)
① $ \angle 1 = \angle 2 $；② $ \angle 1 + \angle 2 = 90^{\circ} $；③ $ CD^{2} = AD \cdot BD $；④ $ AC \cdot BD = BC \cdot AD $。

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： D

5. 如图,$ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径,点 $ C $ 在 $ \odot O $ 上,$ CD \perp AB $,$ DE // BC $,则图中与 $ \triangle ABC $ 相似的三角形的个数为(A)

A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个

答案： A

6. 如图所示,在两个直角三角形中,$ \angle ACB = \angle ADC = 90^{\circ} $,$ AC = \sqrt{6} $,$ AD = \sqrt{2} $,当 $ AB = 3\sqrt{2} $,判断两个三角形是否相似？

答案： 在△ABC中，$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}$. 在△ACD中，$\frac{AD}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$. 由$\left\{\begin{array}{l}\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC},\\ \angle ACB=\angle ADC,\end{array}\right.$得△ABC∽△ACD.

7. 如图所示,$ \odot O $ 是 $ \triangle ABC $ 的外接圆,$ AE $ 是直径,$ AD $ 是 $ BC $ 边上的高,求证：$ AB \cdot AC = AE \cdot AD $。

答案： 连BE.
∵AE为直径，
∴∠ABE=90°.
∵∠ADC=∠ABE=90°，∠C=∠E，
∴△ADC∽△ABE，
∴$\frac{AC}{AE}=\frac{AD}{AB}$. 即$AB\cdot AC=AE\cdot AD$.

8. 如图,$ \angle ABD = \angle BCD = 90^{\circ} $,$ DB $ 平分 $ \angle ADC $,过点 $ B $ 作 $ BM // CD $ 交 $ AD $ 于点 $ M $。连接 $ CM $ 交 $ DB $ 于点 $ N $。
(1) 求证：$ BD^{2} = AD \cdot CD $；
(2) 若 $ CD = 6 $,$ AD = 8 $,求 $ MN $ 的长。

答案：
(1) 易证△ABD∽△BCD，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{CD}$.
∴$BD^2=AD\cdot CD$.
(2)
∵BM//CD，
∴∠MBD=∠BDC，∠MBC=180°-∠BCD=90°.
∴∠ADB=∠MBD.
∴BM=MD.
∵∠ABD=90°，
∴∠MAB+∠ADB=∠MBA+∠MBD=90°.
∴∠MAB=∠MBA.
∴BM=AM.
∵$BD^2=AD\cdot CD$，且CD=6，AD=8，
∴$BD^2=48$.
∴在Rt△BCD中，$BC^2=BD^2-CD^2=12$.
∴在Rt△MBC中，$MC^2=MB^2+BC^2=28$.
∴$MC=2\sqrt{7}$.
∵BM//CD，
∴∠MBD=∠BDC.又
∵∠MNB=∠CND，
∴△MNB∽△CND.
∴$\frac{BM}{CD}=\frac{MN}{CN}$，即$\frac{4}{6}=\frac{MN}{2\sqrt{7}-MN}$.
∴$MN=\frac{4}{5}\sqrt{7}$.