《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

1. 一个两位数,个位数字比十位数字大 3,且个位数的平方等于这个两位数,则这个两位数为25或36。

答案： 25或36

2. 已知菱形的面积为 20,两条对角线的长度差为 3,设其中一条对角线长为 $ x $,则另一条长为 $ x + 3 $,列方程为$\frac {x(x+3)}{2}=20$,两条对角线的长分别为5、8。

答案： $\frac {x(x+3)}{2}=20$,5和8

3. 矩形的长比宽多 4cm,面积为 $ 60cm^{2} $,则这个矩形的长和宽分别为(A)
A.10cm,6cm
B.12cm,5cm
C.10cm,5cm
D.12cm,4cm

答案： A

4. 参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同,所有公司共签订了 28 份合同,则有多少家公司参加商品交易会？

答案： 设有x家公司参加,则有$\frac {x(x-1)}{2}=28$,解得$x_{1}=8,x_{2}=-7$(舍去).即有8家公司参加商品交易会.

5. 我们知道 $ 3^{2} + 4^{2} = 5^{2} $,这是一个由三个连续正整数组成,且前两个数的平方和等于第三个数的平方的等式,是否还存在另一个“由三个连续正整数组成,且前两个数的平方和等于第三个数的平方”的等式？试说出你的理由。

答案： 假设存在这样的三个数,其中中间的数为n,则有$(n-1)^{2}+n^{2}=(n+1)^{2}$,整理得$n^{2}-4n=0$,解得$n=0$,或$n=4$.又$\because n≥2,\therefore n=4$.
∴除了$3^{2}+4^{2}=5^{2}$外,不存在另一个这样的等式.

6. 在容积为 25L 的容器里盛满纯酒精,从中倒出若干升后,加水注满容器,再倒出同样的量,然后又用水注满,这时容器里的溶液所含纯酒精是 4L,求每次倒出溶液的量。

答案： 每次倒出的溶液为x L,则有$25-x-\frac {25-x}{25}\cdot x=4$,解得$x_{1}=15,x_{2}=35$(舍去).

7. 如图是 2024 年 1 月的月历表,用矩形方框按如图所示的方法任意圈出 4 个数,请解答下列问题。
(1) 若方框中最大数与最小数的乘积为 180,求最小数；
(2) 方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为 124 吗？若能,求出最小数；若不能,请说明理由。

答案：
(1)设最小数是x,则最大数是$x+8$,根据题意得$x(x+8)=180$,整理得$x^{2}+8x-180=0$,解得$x_{1}=10,x_{2}=-18$(不符合题意,舍去).答:最小数是10.
(2)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124,理由如下:假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124,设最小数是y,则另外三个数分别是$y+1,y+7,y+8$,根据题意得$y(y+8)+y+y+1+y+7+y+8=124$,整理得$y^{2}+12y-108=0$,解得$y_{1}=6,y_{2}=-18$(不符合题意,舍去).$\because y=6$在最后一列,
∴假设不成立.即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124.

8. 某商场试销一种成本为每件 60 元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本价,且获利不得高于 45%,经试销发现,销售量 $ y $(单位：件)与销售单价 $ x $(单位：元)符合一次函数 $ y = kx + b $,且 $ x = 65 $ 时,$ y = 55 $；$ x = 75 $ 时,$ y = 45 $。
(1) 求一次函数 $ y = kx + b $ 的解析式；
(2) 该商场获得的利润为 891 元时,销售单价应定为多少元？(利润 = 销售量×每件利润)

答案：
(1)由$\left\{\begin{array}{l} 65k+b=55,\\ 75k+b=45,\end{array}\right. $得$\left\{\begin{array}{l} k=-1,\\ b=120,\end{array}\right. $即$y=-x+120;$
(2)由$y(x-60)=891$,得$(-x+120)(x-60)=891$,解得$x_{1}=93,x_{2}=87.$
∵获利不得高于45%,$60×(1+45\% )=87,$$\therefore x=93$应舍去.$\therefore x=87.$