《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

例1 已知一条弧的弧长为 $3\pi cm$,弧所在圆的半径是 $6 cm$,则这条弧所对的圆心角为多少度？
【思路导析】运用 $l= \frac{n\pi R}{180}$,求圆心角 $n$ 的大小。
【请你解答】

答案： 90°

例2 一个扇形的半径为 $2$,圆心角为 $120^{\circ}$,求它的面积。
【思路导析】运用 $S= \frac{n\pi R^{2}}{360}$ 求解。
【请你解答】

答案： $\frac{4}{3}\pi$

例3 如图,已知 $PA$,$PB$ 切 $\odot O$ 于 $A$,$B$ 两点,$PO = 4$,$\angle APB = 60^{\circ}$,求：
(1) 阴影部分的周长；
(2) 阴影部分的面积。

答案： 【探究点拨】
(1) 关键是求 $PA$,$PB$ 和 $\overset{\frown}{AB}$ 的长；
(2) 阴影部分的面积等于四边形 $PAOB$ 的面积减去扇形 $AOB$ 的面积。
【规范解答】
(1) 连接 $OA$,$OB$,因为 $PA$,$PB$ 是 $\odot O$ 的切线,所以
$PA = PB$,$\angle PAO = \angle PBO = 90^{\circ}$,
$\angle APO = \frac{1}{2}\angle APB = 30^{\circ}$。
在 $Rt\triangle AOP$ 中,$PO = 2OA$。
则 $OA = 2$,$AP = 2\sqrt{3}$,$\therefore PA = PB = 2\sqrt{3}$。
$\because \angle APB = 60^{\circ}$,$\angle PAO = 90^{\circ}$,
$\therefore \angle AOB = 120^{\circ}$,$\overset{\frown}{AB}$ 的长 $=\frac{120\pi× 2}{180}= \frac{4\pi}{3}$。
$\therefore$ 阴影部分的周长 $= PA + PB + \overset{\frown}{AB}$ 的长
$=\left(4\sqrt{3}+\frac{4\pi}{3}\right)$。
(2) $S_{阴影} = S_{四边形PAOB} - S_{扇形AOB}$
$= 2×\frac{1}{2}× PA× OA - \frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}× OA$
$= 2\sqrt{3}× 2 - \frac{1}{2}×\frac{4\pi}{3}× 2$
$=\left(4\sqrt{3}-\frac{4\pi}{3}\right)$。

1. 如图,$PA$,$PB$ 是 $\odot O$ 的切线,$A$,$B$ 为切点,若 $\angle P = 60^{\circ}$,$OA = 3$,那么 $\angle AOB$ 所对的弧 $\overset{\frown}{AB}$ 的长度为(D)

A.$6\pi$

B.$5\pi$
C.$3\pi$
D.$2\pi$

答案： D

2. 如图,在 $\triangle OAB$ 中,$OA = OB = 4$,$\angle A = 30^{\circ}$,$AB$ 与 $\odot O$ 相切于点 $C$,求图中阴影部分的面积。

答案： 连接 OC，$OC\perp AB$，$OC=2$，$AB=2AC=2\sqrt{4^{2}-2^{2}}=4\sqrt{3}$，
$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}OC\cdot AB=\frac{1}{2}×2×4\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，
$S_{扇形}=\frac{120\pi\cdot2^{2}}{360}=\frac{4\pi}{3}$，
$\therefore S_{阴影面积}=4\sqrt{3}-\frac{4\pi}{3}$．