《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

1. 下列方程中,有两个不相等的实数根的是(D)
A.$x^{2}= 3x - 8$
B.$x^{2}+5x = - 10$
C.$7x^{2}-14x + 7 = 0$
D.$x^{2}-7x = - 5x + 3$

答案： D

2. 方程 $x(x - 1)= x - 1$ 的根是(B)
A.0
B.1
C.0 或 1
D.以上都不对

答案： B

3. 将二次三项式 $3x^{2}-6x + 5$ 配方成 $a(x + p)^{2}+q$ 的形式是(C)
A.$(x - 1)^{2}+\frac{2}{3}$
B.$(x + 1)^{2}+\frac{2}{3}$
C.$3(x - 1)^{2}+2$
D.$3(x + 1)^{2}-2$

答案： C

4. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}+bx + a = 0$ 的一个根为 $-a$($a\neq0$),则 $a - b$ 的值为(A)
A.$-1$
B.0
C.1
D.2

答案： A

5. 一元二次方程 $x^{2}-(\sqrt{3}+\sqrt{2})x+\sqrt{6}= 0$ 的根为(C)
A.$x_{1}= 1$,$x_{2}= \sqrt{6}$
B.$x_{1}= 1$,$x_{2}= -\sqrt{6}$
C.$x_{1}= \sqrt{2}$,$x_{2}= \sqrt{3}$
D.$x_{1}= -\sqrt{2}$,$x_{2}= -\sqrt{3}$

答案： C

6. 关于 $x$ 的方程 $ax^{2}-3x + 2 = 0$ 是一元二次方程,则 $a$ 的取值范围是(B)
A.$a＞0$
B.$a\neq0$
C.$a = 1$
D.$a\geq0$

答案： B

7. 等腰三角形的三边长分别为 $a$,$b$,3,且 $a$,$b$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-8x + n - 2 = 0$ 的两个根,则 $n$ 的值为(C)
A.17
B.18
C.17 或 18
D.9 或 18

答案： C

8. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(a - 1)x^{2}-2x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根,则 $a$ 的取值范围是(C)
A.$a＜2$
B.$a＞2$
C.$a＜2$ 且 $a\neq1$
D.$a＜-2$

答案： C

9. 方程 $(x - 3)^{2}+5 = 6x$ 化成一般形式是x²-12x+14=0.

答案： x²-12x+14=0

10. 在实数范围内定义运算“☆”,其规则为：$a☆b = a^{2}-b^{2}$,则方程 $(4☆3)☆x = 13$ 的根为 $x = $±6.

答案： ±6

11. 关于 $x$ 的方程 $x^{2}-2x + m = 0$ 有实数根,则实数 $m$ 的取值范围是m≤1.

答案： m≤1

12. 方程 $(m^{2}-2)x^{2}-1 = 0$ 有一个根为 1,则 $m$ 的值为±√3.

答案： ±√3

13. 已知 $m$,$n$ 是方程 $x^{2}+2x - 1 = 0$ 的两个实数根,则 $m^{2}-2n + 2025$ 的值是2030.

答案： 2030

14. 将 $(2x - 1)(x - 5)= 6x$ 化成一般形式后,它的二次项系数为2,一次项系数为-17,常数项为 5.

答案： 2,-17

15. 一元二次方程的两个根的和为 7,两个根的积为 12,则这个一元二次方程的一般式为x²-7x+12=0.

答案： x²-7x+12=0

16. 用总长为 36 m 的铁丝网,利用墙壁为一边,围成一个面积为 $160m^{2}$ 的矩形停车场,则这个停车场的两邻边长分别为10,16或8,20.

答案： 10,16或8,20

17. 解下列方程：
(1) $x(2x - 3)= 4x - 6$；
(2) $1 - 8x + 16x^{2}= 2 - 4x^{2}$.

答案： $(1)$ 解方程$x(2x - 3)= 4x - 6$
解：
将方程右边变形可得$x(2x - 3)= 2(2x - 6)$，
移项得$x(2x - 3)-2(2x - 3)=0$，
提取公因式$(2x - 3)$得$(2x - 3)(x - 2)=0$，
则$2x - 3 = 0$或$x - 2 = 0$，
当$2x - 3 = 0$时，$2x=3$，解得$x=\frac{3}{2}$；
当$x - 2 = 0$时，解得$x = 2$。
所以方程的解为$x_1=\frac{3}{2}$，$x_2 = 2$。
$(2)$ 解方程$1 - 8x + 16x^{2}= 2 - 4x^{2}$
解：
移项得$16x^{2}+4x^{2}-8x + 1 - 2 = 0$，
合并同类项得$20x^{2}-8x - 1 = 0$，
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（$a = 20$，$b = - 8$，$c = - 1$），其判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-8)^{2}-4×20×(-1)=64 + 80 = 144$，
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$可得：
$x=\frac{8\pm\sqrt{144}}{2×20}=\frac{8\pm12}{40}$，
即$x_1=\frac{8 + 12}{40}=\frac{20}{40}=\frac{1}{2}$，$x_2=\frac{8 - 12}{40}=\frac{-4}{40}=-\frac{1}{10}$。
所以方程的解为$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-\frac{1}{10}$。

18. 张大叔从市场上买回了一张矩形铁皮,他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为 1 m 的正方形后,剩下的部分刚好能围成一个容积为 $15m^{3}$ 的无盖长方体运输箱,且此长方体运输箱底面的长比宽多 2 m. 现已知购买这种铁皮每平方米需要 20 元钱,则张大叔购买这张铁皮共花了多少元钱？

答案： 设长方体运输箱底部宽为x m,长为(x+2)m,则有x(x+2)×1=15,解得x₁=3,x₂=-5(舍去).
∴费用为(5+2)×(3+2)×20=700(元).