《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

11. 如图,将$\triangle ABC绕点P逆时针旋转30^{\circ}$,画出旋转后的图形。

答案：

12. 如图,作四边形关于点$O$成中心对称的图形。

答案：

13. 如图,$O为等边三角形ABC$内一点,连接$OA$,$OB$,$OC$,将线段$BO绕点B顺时针旋转60^{\circ}到BM$,连接$CM$,$OM$。
(1) 求证：$AO = CM$；
(2) 若$OA = 8$,$OC = 6$,$OB = 10$,判断$\triangle OMC$的形状并证明。

答案：
(1)
∵∠OBM = 60°,OB = BM,
∴△OBM是等边三角形.
∴BM = OB = OM,∠ABC = ∠OBM = 60°,
∴∠ABO = ∠CBM.在△AOB和△CMB中,
∵OB = BM,∠ABO = ∠CBM,AB = BC,
∴△AOB≌△CMB(SAS).
∴OA = MC.
(2)△OMC是直角三角形.证明如下:由
(1)知OM = OB = 10,CM = OA = 8.在△OMC中,OM² = 100,OC² + CM² = 6² + 8² = 100,
∴OM² = OC² + CM²,
∴△OMC是直角三角形.

14. 如图,在等边三角形$ABC$中,$D是边AC$上一点。连接$BD$,将$\triangle BCD绕点B逆时针旋转60^{\circ}$,得到$\triangle BAE$,连$DE$。求证：
(1)$AE// BC$；
(2)$\triangle BDE$是等边三角形。

答案：
(1)由旋转得△BDC≌△BEA,
∴∠C = ∠EAB = 60°,∠EAB = ∠ABC.
∴AE//BC.
(2)BD = BE,∠EBD = 60°,
∴△BED为等边三角形.

15. 如图,四边形$ABCD$中,$\angle BAD= \angle F = 90^{\circ}$,$AB = AD$,$AE\perp BC于点E$,$\triangle BEA旋转后能与\triangle DFA$重合。
(1) 指出旋转中心,旋转角；
(2) 若$AE = 5cm$,求四边形$AECF$的面积。

答案： 1. （1）
旋转中心是点$A$。
因为$\triangle BEA$旋转后能与$\triangle DFA$重合，$\angle BAD = 90^{\circ}$，所以旋转角是$90^{\circ}$。
2. （2）
解：
因为$\triangle BEA$旋转后能与$\triangle DFA$重合，所以$S_{\triangle BEA}=S_{\triangle DFA}$。
那么$S_{四边形AECF}=S_{\triangle AEC}+S_{\triangle AFA}+S_{\triangle ADC}$，又因为$S_{\triangle BEA}=S_{\triangle DFA}$，所以$S_{四边形AECF}=S_{\triangle AEC}+S_{\triangle BEA}+S_{\triangle ADC}-S_{\triangle DFA}$，即$S_{四边形AECF}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC}-S_{\triangle DFA}+S_{\triangle DFA}$（这里$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle BEA}+S_{\triangle AEC}$）。
由于$AB = AD$，$\angle BAD=\angle F = 90^{\circ}$，$AE\perp BC$，且$\triangle BEA\cong\triangle DFA$（旋转重合则全等），$AE$是$\triangle ABC$中$BC$边上的高。
四边形$AECF$的面积就等于正方形$AEGF$（$AE\perp BC$，$\angle EAF = 90^{\circ}$，$AE = AF$，因为$\triangle BEA\cong\triangle DFA$，所以$AE = AF$）的面积。
已知$AE = 5cm$，根据正方形面积公式$S=a^{2}$（$a$为边长），这里$a = AE$。
所以$S_{四边形AECF}=AE^{2}$。
把$AE = 5cm$代入，得$S_{四边形AECF}=25cm^{2}$。
综上，（1）旋转中心是点$A$，旋转角是$90^{\circ}$；（2）四边形$AECF$的面积是$25cm^{2}$。

16. 将正方形$ABCD和正方形BEFG$按如图(1)所示放置,已知$AB = 5\sqrt{2}$,$BE = 6$,将正方形$BEFG绕点B顺时针旋转一定的角度\alpha(0^{\circ}＜\alpha\leqslant360^{\circ})$,如图(2)所示,连接$AE$,$CG$。
(1) 求线段$AE与CG$的关系,并给出证明；
(2) 当旋转至某一个角度时,点$C$,$E$,$G$在同一条直线上,请画出示意图形,并求出此时$AE$的长。

答案：

(1)AE = CG,AE⊥CG.证明:设AE,CG交于点M,AE,BC交于点N.
∵∠ABC = ∠EBG = 90°,
∴∠ABE = ∠CBG.又
∵AB = CB,BE = BG,
∴△ABE≌△CBG(SAS).
∴AE = CG,∠BAE = ∠BCG.
∵∠ANB = ∠CNM,
∴∠ABC = ∠AMC = 90°.
∴AE⊥CG.
(2)设EG的中点为H,连接BH,则由BE = 6易得BH = EH = HG = 3$\sqrt{2}$.当E在线段CG上时,如图
(1)所示.由
(1)可知AE = CG.在Rt△CBH中,BC = 5$\sqrt{2}$,BH = EH = 3$\sqrt{2}$,
∴CH = 4$\sqrt{2}$.
∴CE = $\sqrt{2}$.
∴CG = 7$\sqrt{2}$.
∴AE = 7$\sqrt{2}$.当点E在CG的延长线上时,如图
(2)所示.同理,CH = 4$\sqrt{2}$.
∴CG = $\sqrt{2}$.
∴AE = $\sqrt{2}$.综上所述,AE = $\sqrt{2}$或7$\sqrt{2}$.