《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

例 1 圆是轴对称图形,每条经过圆心的直线是圆的对称轴.
【思路导析】画图分析.
【请你解答】圆心.

答案： 圆心

例

2 如图,CD 是⊙O 的直径,弦 AB⊥CD 于点 E,连接 BC,BD. 下列结论中不一定正确的是(C)

A.AE = BE
B.$\overset{\frown}{AD}= \overset{\frown}{BD}$
C.OE = DE
D.$\overset{\frown}{AC}= \overset{\frown}{BC}$
【思路导析】运用垂径定理来判定.
【请你解答】____.

答案： C

例 3 如图,AB 是⊙O 的弦,半径 OA = 13 cm,O 到 AB 的距离为 5 cm,求弦 AB 的长.

【思路导析】作 OC⊥AB,垂足为点 C,由垂径定理和勾股定理综合求解.
【请你解答】

答案：
∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB，
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB，即AB=2AC=2$\sqrt{AO^2-OC^2}$=2×12=24(cm).

例

4 在直径为 50 cm 的圆中,弦 AB 为 40 cm,弦 CD 为 48 cm,且 AB//CD,求 AB 与 CD 之间的距离.

答案：
【探究点拨】运用分类讨论的思想：①弦 AB,CD 在圆心 O 的同侧；②弦 AB,CD 在圆心 O 的两侧.
【规范解答】如图,过点 O 作 OM⊥AB,垂足为点 M,交 CD 于点 N.
∵ AB//CD,OM⊥AB,

∴ ON⊥CD.
在 Rt△BMO 中,BO = 25.
由垂径定理,得
BM = $\frac{1}{2}AB= \frac{1}{2}×40 = 20$.
OM = $\sqrt{OB^{2}-BM^{2}}= \sqrt{25^{2}-20^{2}} = 15$.
同理可求得 ON = $\sqrt{OC^{2}-CN^{2}}= \sqrt{25^{2}-24^{2}} = 7$.
即 MN = OM - ON = 15 - 7 = 8,
或 M'N = OM' + ON = 15 + 7 = 22.
∴AB 与 CD 之间的距离为 8 cm 或 22 cm.

1. 如图,半径为 5 的⊙P 与 y 轴交于点 M(0,-4),N(0,-10),求点 P 的坐标.

答案： 连接PM，过P点作PQ⊥y轴交y轴于点Q，MN=10-4=6，则MQ=3，而PM=5，
∴PQ=$\sqrt{PM^2-MQ^2}$=4，
∴P(-4,-7).

2. 如图,⊙O 的半径为 2,弦 AB = $2\sqrt{3}$,点 C 在弦 AB 上,AC = $\frac{1}{4}AB$,求 OC 的长.

答案： 过点O作OH⊥AB于点H，则AH=BH=$\sqrt{3}$，OH=$\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}$=1，AC=$\frac{1}{4}×2\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴CH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴OC=$\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2+1^2}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$.