《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

1. 抛物线 $ y = \frac{1}{3}x^2 + 1 $ 的开口向上,其顶点坐标为$(0,1)$,对称轴是$y$轴,当 $ x $$＜0$时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。

答案： 上,$(0,1)$,$y$轴,$＜0$

2. 函数 $ y = -\frac{3}{2}x^2 + 2 $ 有最大值(填“大”或“小”),即当 $ x = $0时,$ y $ 取得最大值,其最大值为2。

答案： 大,$0$,$2$

3. 已知二次函数 $ y = -2x^2 + 4 $,当 $ -2 ＜ x \leq 1 $ 时,$ y $ 的取值范围是$-4＜y\leqslant 4$。

答案： $-4＜y\leqslant 4$

4. 将二次函数 $ y = x^2 $ 的图象向下平移 $ 1 $ 个单位长度后得到的二次函数的解析式为(A)
A.$ y = x^2 - 1 $
B.$ y = x^2 + 1 $
C.$ y = (x - 1)^2 $
D.$ y = (x + 1)^2 $

答案： A

5. 已知点 $ A(x_1, y_1) $,$ B(x_2, y_2) $ 在二次函数 $ y = ax^2 + 1 (a ＞ 0) $ 的图象上。若 $ x_1 ＞ x_2 ＞ 0 $,则 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小关系是(A)
A.$ y_1 ＞ y_2 $
B.$ y_1 ＜ y_2 $
C.$ y_1 \geq y_2 $
D.$ y_1 \leq y_2 $

答案： A

6. 在同一个坐标系中,一次函数 $ y = -mx + n^2 $ 与二次函数 $ y = x^2 + m $ 的图象可能是(D)

答案： D

7. 已知抛物线 $ y = \frac{1}{4}x^2 + 1 $ 具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点 $ F(0, 2) $ 的距离与到 $ x $ 轴的距离始终相等。如图,点 $ M $ 的坐标为 $ (\sqrt{3}, 3) $,$ P $ 是抛物线 $ y = \frac{1}{4}x^2 + 1 $ 上的一个动点,则 $ \triangle PMF $ 周长的最小值是(C)

A.$ 3 $
B.$ 4 $
C.$ 5 $
D.$ 6 $

答案： C

8. 已知抛物线的对称轴为 $ y $ 轴,该函数的最大值为 $ 3 $,且经过点 $ (1, 1) $。
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若该抛物线与 $ x $ 轴交于 $ A $,$ B $ 两点(点 $ A $ 在点 $ B $ 的左边),与 $ y $ 轴交于点 $ C $,求 $ S_{\triangle ABC} $。

答案：
(1)设抛物线的解析式为$y=ax^{2}+3$,把$(1,1)$代入得$1=a+3$,即$a=-2$,则抛物线的解析式为$y=-2x^{2}+3$.
(2)令$y=0$,得到$x=\pm \dfrac{\sqrt{6}}{2}$,即$AB=\sqrt{6}$,令$x=0$,得$y=3$,即$OC=3$,则$S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}AB\cdot OC=\dfrac{3\sqrt{6}}{2}$.

9. 如图,抛物线 $ y = ax^2 - 1 $ 交 $ x $ 轴于 $ A $,$ B $ 两点,交 $ y $ 轴于点 $ C $,且 $ AB = 4OC $。
(1)求 $ a $ 的值；
(2)过抛物线上的点 $ P $(不与点 $ B $ 重合)作 $ y $ 轴的平行线,交直线 $ BC $ 于点 $ M $,交 $ x $ 轴于点 $ N $,当 $ PM = 2MN $ 时,求点 $ P $ 的坐标。

答案：
(1)易得点$C$的坐标为$(0,-1)$,则$OA=OB=2$.
$\therefore A(-2,0)$,$B(2,0)$.
将点$B$的坐标代入抛物线的解析式得$a=\dfrac{1}{4}$.
(2)设直线$BC$的表达式为$y=kx+b$,
将点$B$,$C$的坐标代入一次函数表达式得直线$BC$的表达式为$y=\dfrac{1}{2}x-1$.
由
(1)得抛物线的解析式为$y=\dfrac{1}{4}x^{2}-1$.
设点$P\left(x,\dfrac{1}{4}x^{2}-1\right)$,点$M\left(x,\dfrac{1}{2}x-1\right)$.
$\because PM=2MN$,$\therefore \left|\dfrac{1}{4}x^{2}-1-\dfrac{1}{2}x+1\right|=2\left|\dfrac{1}{2}x-1\right|$.
解得$x=4$或$-4$($x=2$舍去).
故点$P$的坐标为$(4,3)$或$(-4,3)$.