《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

例 1 如图所示,下列图中的角是圆周角的是(B)
【思路导析】顶点在圆上,两边和圆相交的角是圆周角.
【请你解答】______.

答案： B

例

2 如图,点 $ A $,$ B $,$ C $ 在 $ \odot O $ 上,且 $ \angle AOB = 100^{\circ} $,那么 $ \angle ACB $ 的度数为(D)

A.$ 200^{\circ} $
B.$ 100^{\circ} $
C.$ 60^{\circ} $
D.$ 50^{\circ} $
【思路导析】因为 $ \angle ACB $ 和 $ \angle AOB $ 所对的弧是同弧,所以 $ \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB $.
【请你解答】______.

答案： D

例 3 如图,正三角形 $ ABC $ 内接于 $ \odot O $,动点 $ P $ 在劣弧 $ \overset{\frown}{AB} $ 上,且点 $ P $ 不与点 $ A $,$ B $ 重合,那么 $ \angle BPC $ 的度数为(B)

A.$ 30^{\circ} $
B.$ 60^{\circ} $
C.$ 90^{\circ} $
D.$ 45^{\circ} $
【请你解答】______.

答案： B

例 4 如图,$ MN $ 是 $ \odot O $ 的直径,$ MN = 2 $,点 $ A $ 在 $ \odot O $ 上,$ \angle AMN = 30^{\circ} $,$ B $ 为 $ \overset{\frown}{AN} $ 的中点,$ P $ 是直径 $ MN $ 上一动点,求 $ PA + PB $ 的最小值.

答案： 【探究点拨】作 $ A $ 关于 $ MN $ 的对称点 $ A' $,连 $ A'B $ 交 $ MN $ 于点 $ P $,点 $ P $ 为所求的点.
【规范解答】作 $ A $ 关于 $ MN $ 的对称点 $ A' $,连 $ A'B $ 交 $ MN $ 于点 $ P $.
因为 $ \angle AMN = 30^{\circ} $,$ \angle AON = 60^{\circ} $,所以 $ \angle NOA' = 60^{\circ} $,而 $ \angle BON = 30^{\circ} $,
即 $ \angle BOA' = 60^{\circ} + 30^{\circ} = 90^{\circ} $.
又因为 $ MN = 2 $,所以 $ ON = OB = OA' = 1 $,
所以 $ PA + PB = PA' + PB = BA' = \sqrt{OB^{2} + A'O^{2}} = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2} $,
即 $ PA + PB $ 的最小值为 $ \sqrt{2} $.

1. 如图,在 $ \odot O $ 中,$ \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BC} $,点 $ D $ 在 $ \odot O $ 上,$ \angle CDB = 25^{\circ} $,则 $ \angle AOB $ 的度数为(B)


A.$ 45^{\circ} $
B.$ 50^{\circ} $
C.$ 55^{\circ} $
D.$ 60^{\circ} $

答案： B

2. 如图,$ A $ 是 $ \odot O $ 上一点,$ BC $ 是直径,点 $ D $ 在 $ \odot O $ 上且平分 $ \overset{\frown}{BC} $.
(1) 连接 $ AD $,求 $ \angle BAD $ 的度数；
(2) 若 $ CD = 5\sqrt{2} $,$ AB = 8 $,求 $ AC $ 的长.

答案： 1. （1）
连接$BD$，$CD$：
因为$BC$是$\odot O$的直径，所以$\angle BAC=\angle BDC = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
又因为点$D$平分$\overset{\frown}{BC}$，所以$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，根据同圆中，等弧所对的弦相等，可得$BD = CD$。
在$Rt\triangle BDC$中，$BD = CD$，$\angle DBC=\angle DCB$，且$\angle DBC+\angle DCB = 90^{\circ}$，所以$\angle DBC=\angle DCB = 45^{\circ}$。
因为$\angle BAD$与$\angle BCD$所对的弧都是$\overset{\frown}{BD}$，根据同弧所对的圆周角相等，所以$\angle BAD=\angle BCD$。
所以$\angle BAD = 45^{\circ}$。
2. （2）
解：
因为$BC$是直径，$\angle BAC=\angle BDC = 90^{\circ}$，$D$平分$\overset{\frown}{BC}$，所以$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，则$BD = CD$。
在$Rt\triangle BDC$中，$BD = CD = 5\sqrt{2}$，根据勾股定理$BC=\sqrt{BD^{2}+CD^{2}}$，即$BC=\sqrt{(5\sqrt{2})^{2}+(5\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{50 + 50}=\sqrt{100}=10$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$BC = 10$，$AB = 8$，根据勾股定理$AC=\sqrt{BC^{2}-AB^{2}}$（$a=\sqrt{c^{2}-b^{2}}$，其中$c$为斜边，$a$，$b$为直角边）。
所以$AC=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=\sqrt{100 - 64}=\sqrt{36}=6$。
综上，（1）$\angle BAD = 45^{\circ}$；（2）$AC$的长为$6$。