《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

例 1 如图,已知反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象经过第二象限的点 $ A(-2,m) $,$ AB \perp x $ 轴于点 $ B $,$ \triangle AOB $ 的面积为 3.

(1) 求 $ k $,$ m $ 的值；
(2) 若另一点 $ C(n,-\frac{3}{2}) $ 也在此反比例函数的图象上,求 $ n $ 的值.
【思路导析】点 $ A(-2,m) $ 在 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象上,则其坐标适合该函数解析式. 点 $ B $ 的横坐标与 $ OB $ 的长度(在数量上)互为相反数.
【请你解答】

答案：
(1)因为△AOB的面积为3,所以$\frac{1}{2}×|-2|× m=3$,即$m=3$,又$A(-2,m)$在$y=\frac{k}{x}$的图象上,所以$k=xy=-2×3=-6$.即$k=-6$,$m=3$;
(2)点$C(n,-\frac{3}{2})$在$y=-\frac{6}{x}$上,故$n=4$.

<题目>

例

2 (1) 已知反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $,当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,那么一次函数 $ y = kx - k $ 的图象经过(B)
A. 第一、第二、第三象限
B. 第一、第二、第四象限
C. 第一、第三、第四象限
D. 第二、第三、第四象限
(2) 在反比例函数 $ y = \frac{1 - k}{x} $ 的每一个象限内的图象上,$ y $ 都随 $ x $ 的增大而增大,则 $ k $ 的值可以是(D)
A. $-1$
B. $0$
C. $1$
D. $2$
【思路导析】利用反比例函数的性质进行分析解答.
【请你解答】(1)______；(2)______.

答案：
(1)B
(2)D

例 3 如图,反比例函数 $ y = -\frac{6}{x} $ 在第二象限的图象上有两点 $ A $,$ B $,它们的横坐标分别为 $-1$,$-3$,直线 $ AB $ 与 $ x $ 轴交于点 $ C $,求 $ \triangle AOC $ 的面积.

答案： 【探究点拨】运用 $ y = -\frac{6}{x} $,已知 $ A $,$ B $ 两点横坐标可求纵坐标,再求出直线 $ AB $ 的解析式,令 $ y = 0 $,求 $ C $ 点横坐标.
【规范解答】把 $ x = -1 $ 代入 $ y = -\frac{6}{x} $ 得 $ y = -\frac{6}{-1} = 6 $,
$\therefore$ 点 $ A $ 的坐标为 $(-1,6)$.
把 $ x = -3 $ 代入 $ y = -\frac{6}{x} $ 得 $ y = \frac{-6}{-3} = 2 $,
$\therefore$ 点 $ B $ 的坐标为 $(-3,2)$.
设 $ AB $ 解析式为 $ y = kx + b $,将 $ A $,$ B $ 两点坐标分别代入上式得 $ \begin{cases} 6 = -k + b \\ 2 = -3k + b \end{cases} $,解得 $ k = 2 $,$ b = 8 $.
$\therefore$ 直线 $ AB $ 的解析式为 $ y = 2x + 8 $.
令 $ y = 0 $,得 $ x = -4 $. 故点 $ C $ 的坐标为 $ C(-4,0) $.
$\therefore S_{\triangle AOC} = \frac{1}{2} \cdot OC \cdot y_A = \frac{1}{2} × 4 × 6 = 12 $.

1. 反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 中,当 $ x = -1 $ 时,$ y = -4 $. 若 $ y $ 的取值范围是 $-4 \leq y \leq -1 $,则 $ x $ 的取值范围是$-4\leqslant x\leqslant-1$.

答案： $-4\leqslant x\leqslant-1$

2. 已知函数 $ y_1 = \frac{k_1}{x} $ 与 $ y_2 = k_2x $ 相交于点 $ A(1,2) $ 和点 $ B $,则点 $ B $ 的坐标为$(-1,-2)$,若 $ y_1 ＜ y_2 $,则自变量 $ x $ 的取值范围是$-1＜x＜0$或$x＞1$.

答案： $(-1,-2)$,$-1＜x＜0$或$x＞1$