《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

1. 抛物线 $ y = 2(x + 3)^2 + 1 $ 的顶点坐标为 (−3,1),对称轴为 ______ 直线x=−3,开口方向向 ______ 上。

答案： (−3,1),直线x=−3,上

2. 已知抛物线 $ y = -2(x + 1)^2 - 3 $,其对称轴为直线x=−1,若 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,则 $ x $ 的取值范围是x＞−1。

答案： 直线x=−1,x＞−1

3. 如图,在平面直角坐标系中,点 $ A $ 的坐标为 $ (0, 2) $,点 $ B $ 的坐标为 $ (4, 2) $。若抛物线 $ y = -\frac{3}{2}(x - h)^2 + k $($ h $,$ k $ 为常数)与线段 $ AB $ 交于 $ C $,$ D $ 两点,且 $ CD = \frac{1}{2}AB $,则 $ k $ 的值为 $\frac{7}{2}$。

答案： $\frac{7}{2}$

4. 将抛物线 $ y = 3x^2 $ 向左平移 $ 2 $ 个单位长度,再向下平移 $ 1 $ 个单位长度,所得到的抛物线的解析式为(A)
A.$ y = 3(x + 2)^2 - 1 $
B.$ y = 3(x - 2)^2 + 1 $
C.$ y = 3(x - 2)^2 - 1 $
D.$ y = 3(x + 2)^2 + 1 $

答案： A

5. 如图,两条抛物线 $ y_1 = -\frac{1}{2}x^2 + 1 $,$ y_2 = -\frac{1}{2}x^2 - 1 $ 与分别经过点 $ (-2, 0) $,$ (2, 0) $ 且平行于 $ y $ 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为(A)

A.$ 8 $
B.$ 6 $
C.$ 10 $
D.$ 4 $

答案： A

6. 不论 $ m $ 取何实数,抛物线 $ y = a(x + m)^2 + m (a \neq 0) $ 的顶点都在(B)
A.直线 $ y = x $ 上
B.直线 $ y = -x $ 上
C.$ x $ 轴上
D.$ y $ 轴上

答案： B

7. 已知二次函数 $ y = (x - 1)^2 + 2 $。
(1) 写出该函数图象的顶点 $ M_1 $ 的坐标；
(2) 求把 $ y = (x - 1)^2 + 2 $ 的图象绕原点旋转 $ 180° $ 后的函数的解析式；
(3) 若 $ y = (x - 1)^2 + 2 $ 的图象与 $ y $ 轴交于点 $ A $,(2)中旋转后的新图象的顶点为 $ M_2 $,与 $ y $ 轴的交点为 $ B $,求四边形 $ AM_1BM_2 $ 的面积。

答案：
(1)(1,2);
(2)绕原点旋转180°后，开口方向与原抛物线开口方向相反，开口大小不变，顶点坐标变为(−1,−2)，
∴旋转180°后得到的函数图象的解析式为y=-(x+1)²−2;
(3)令x=0,y=3,
∴A(0,3).
同理得B(0,−3),M₂(−1,−2),四边形AM₁BM₂是平行四边形
S=2×$\frac{1}{2}$×6×1=6.

8. 已知一个二次函数,当 $ x = 1 $ 时,函数有最大值 $ -6 $,且图象过点 $ (2, -8) $。
(1) 求此二次函数的解析式；
(2) 若抛物线 $ l $(如图)的开口大小与(1)中抛物线开口大小相同,且与 $ x $ 轴的交点为 $ (-1, 0) $,$ (5, 0) $,求抛物线 $ l $ 的解析式及顶点坐标。

答案：
(1)设二次函数的解析式为y=a(x−h)²+k.
由题意得h=1,k=−6.x=2时,y=−8.
所以−8=a(2−1)²−6,解得a=−2.
所以y=−2(x−1)²−6;
(2)设抛物线l的解析式为y=−2(x−x₁)(x−x₂).将(−1,0),(5,0)代入可得y=−2(x+1)(x−5)=−2x²+8x+10.
−$\frac{b}{2a}$=−$\frac{8}{2×(−2)}$=2,$\frac{4ac−b²}{4a}$=18,即l的顶点坐标为(2,18).