《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

1. 用配方法填空：
(1)$x^{2}+4x+\underline{4}=(x+\underline{\quad\quad2})^{2}$；
(2)$x^{2}-2\sqrt{3}x+\underline{3}=(x-\underline{\quad\quad$\sqrt{3}$})^{2}$。

答案：
(1)4,2
(2)3,$\sqrt {3}$

2. 若关于$x的二次三项式x^{2}-(m - 1)x + 16$是完全平方式,则$m = \underline{9或-7}$。

答案： 9或-7

3. 用配方法将方程$x^{2}-4x + 3 = 0化成(x + m)^{2}= n$的形式是(A)
A.$(x - 2)^{2}= 1$
B.$(x - 2)^{2}= -1$
C.$(x + 2)^{2}= 1$
D.$(x + 2)^{2}= 7$

答案： A

4. 用配方法解方程$2x^{2}+2 = 6x$,完成填空。
解：$2x^{2}+2 = 6x$。
移项,得$2x^{2}-6x = - 2$。
两边除以$\underline{2}$,得$x^{2}-3x = - 1$。
配方,得$x^{2}-3x + ($$\frac{3}{2}$$)^{2}= -1+\underline{$(\frac{3}{2})^{2}$}$。
$\therefore (x - \frac{3}{2})^{2}= \underline{$\frac{5}{4}$}$。
即$x_{1}= \underline{$-\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{3}{2}$}$,$x_{2}= \underline{$\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{3}{2}$}$。

答案： 2,$\frac {3}{2},(\frac {3}{2})^{2},\frac {5}{4},-\frac {\sqrt {5}}{2}+\frac {3}{2},\frac {\sqrt {5}}{2}+\frac {3}{2}$

5. 用配方法解下列方程：
(1)$x^{2}-4x - 2 = 0$； (2)$x^{2}-2x - 6 = x - 11$。

答案：
(1)$x_{1}=2+\sqrt {6},x_{2}=2-\sqrt {6}$；
(2)无实根.

6. 用配方法解决下列问题：
(1)求$2x^{2}-7x + 2$的最小值；
(2)求$-3x^{2}+5x + 1$的最大值。

答案：
(1)最小值为$-\frac {33}{8}$;
(2)最大值为$\frac {37}{12}.$

7. 已知$m$为非负数,请尝试用配方法解关于$x的方程x^{2}+2\sqrt{m}x + 3 = 0$。

答案： 配方得$(x+\sqrt {m})^{2}=m-3.$①当$m-3≥0$时,即$m≥3,$$x+\sqrt {m}=\pm \sqrt {m-3},x=-\sqrt {m}\pm \sqrt {m-3}.$②当$m-3＜0$时,即$0≤m＜3$,方程无实数解.

8. 阅读材料：若$m^{2}-2mn + 2n^{2}-8n + 16 = 0$,求$m$,$n$的值。
解：$\because m^{2}-2mn + 2n^{2}-8n + 16 = 0$,
$\therefore (m^{2}-2mn + n^{2})+(n^{2}-8n + 16)= 0$。
$\therefore (m - n)^{2}+(n - 4)^{2}= 0$。
$\therefore (m - n)^{2}= 0$,$(n - 4)^{2}= 0$。
$\therefore n = 4$,$m = 4$。
根据上述材料,解答下面的问题：
(1)已知$x^{2}-2xy + 2y^{2}-2y + 1 = 0$,求$x + 2y$的值；
(2)已知$a - b = 6$,$ab + c^{2}-4c + 13 = 0$,求$a + b + c$的值。

答案：
(1)$\because x^{2}-2xy+2y^{2}-2y+1=0,\therefore x^{2}-2xy+y^{2}+y^{2}-2y+1=0,\therefore (x-y)^{2}+(y-1)^{2}=0.\therefore x-y=0,y-1=0,\therefore y=1,x=y=1.\therefore x+2y=2+2=4.$
(2)$\because a-b=6,\therefore a=b+6$.代入等式得$b(b+6)+c^{2}-4c+13=0$,整理得$(b^{2}+6b+9)+(c^{2}-4c+4)=0,$即$(b+3)^{2}+(c-2)^{2}=0.\therefore b=-3,c=2,a=3.\therefore a+b+c=3-3+2=2.$