《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

1. 一个长方形,将其长缩短 5 cm、宽增加 3 cm 后变成了正方形,且面积比原来面积减少了$ 5 cm^2,$那么正方形的面积为100 cm²。

答案： 100 cm²

2. 如图,8 块相同的长方形地砖拼成面积为$ 2400 cm^2 $的大矩形,则小矩形的长为30cm。

答案： 30

3. 一个长为 100 m、宽为 60 m 的矩形游泳池需扩建成一个周长为 600 m 的大型矩形水上游乐场,把游泳池的长增加 $x$ m 后,水上游乐园的面积为 20000 m^2,依题意可列出方程(100+x)(200-x)=20000。

答案： (100+x)(200-x)=20000

4. 如图,在一块长为 22 m、宽为 17 m 的矩形地面上,要修建一条长方形道路 $LMPQ$ 及一条平行四边形道路 $RSTK$,剩余部分种上草坪,使草坪面积为 300 m^2。若 $LM = RS = x$ m,则 $x = $2。

答案： 2

5. 将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为 3 cm 的小正方形,做成一个无盖的盒子。已知盒子的容积为$ 300 cm^3,$则原铁皮的边长为(D)
A.10 cm
B.13 cm
C.14 cm
D.16 cm

答案： D

6. 如图,要设计一幅长 60 cm、宽 40 cm 的图案,其中有一横一竖的彩条,横竖彩条宽度比为 $1:2$,若彩条所占面积是图案面积的 $\frac{1}{2}$,求横彩条的宽度。

答案： 设横彩条宽为x cm,则竖彩条的宽为2x cm,依题意有(60-2x)(40-x)=60×40×$\frac{1}{2}$,x₁=10,x₂=60.
∵2x＜60,
∴x＜30,故x=60应舍去.故横彩条的宽度为10 cm.

7. 如图,老李想用长为 70 m 的栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈 $ABCD$,并在边 $BC$ 上留一个 2 m 宽的门(建在 $EF$ 处,另用其他材料)。
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为 640 m^2 的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到 650 m^2 吗？如果能,请你给出设计方案；如果不能,请说明理由。

答案：
(1)当羊圈的长为40 m,宽为16 m或长为32 m,宽为20 m时,能围成一个面积为640 m²的羊圈.
(2)不能,理由:由题意设AB=x m,得x(72-2x)=650,化简,得x²-36x+325=0,Δ=(-36)²-4×325=-4＜0,
∴一元二次方程没有实数根.
∴羊圈的面积不能达到650 m².

8. 如图,$Rt△ABC$ 中,$∠B = 90°$,$AC = 10$ cm,$BC = 6$ cm,现有两个动点 $P$,$Q$ 分别从点 $A$ 和点 $B$ 同时出发,其中点 $P$ 以 2 cm/s 的速度,沿 $AB$ 向终点 $B$ 移动；点 $Q$ 以 1 cm/s 的速度沿 $BC$ 向终点 $C$ 移动,其中一点到达终点,另一点也随之停止。连接 $PQ$。设动点运动时间为 $x$ s。
(1)用含 $x$ 的代数式表示 $BQ$,$PB$ 的长度；
(2)是否存在 $x$ 的值,使得四边形 $APQC$ 的面积等于 20 cm^2？若存在,请求出此时 $x$ 的值；若不存在,请说明理由。

答案：
(1)
∵∠B=90°,AC=10 cm,BC=6 cm,
∴AB=8 cm.
∴BQ=x cm,PB=(8-2x)cm.
(2)假设存在x的值,使得四边形APQC的面积等于20 cm²,则$\frac{1}{2}$×6×8-$\frac{1}{2}$x(8-2x)=20,解得x₁=x₂=2,假设成立.
∴当x=2时,四边形APQC的面积等于20 cm².