《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

12. 以点 O 为圆心的两个同心圆中,矩形 ABCD 的边 BC 为大圆的弦,边 AD 与小圆相切于点 M,OM 的延长线与 BC 相交于点 N.
(1) N 是线段 BC 的中点吗？为什么？
(2) 若圆环的宽度为 6 cm,$AB = 5$ cm,$BC = 10$ cm,求小圆的半径.

答案：
(1)是中点.矩形ABCD中,AD//BC,
∴∠OMD=∠ONC.
∵AD切小圆于点M,
∴∠OMD=90°,
∴∠ONC=90°,
∴ON平分BC,即N为BC的中点.
(2)连接OC,设小圆半径为r,则大圆半径为(6+r)cm,由
(1)得∠ONC=90°,而矩形ABCD中,∠A =∠B=90°,所以四边形ABNM为矩形.
∴MN=AB=5cm,
∴ON=(5+r)cm.由
(1)得NC=$\frac{1}{2}$BC =$\frac{1}{2}$×10=5(cm),在Rt△ONC中,ON²+NC²=OC²,可得(5+r)²+5²=(6+r)²,解得r=7,小圆的半径为7cm.

13. 如图,在⊙O 中,C 为 $\overset{\frown}{AB}$ 的中点,$\angle ACB = 120^{\circ}$,AD 是⊙O 的切线,OC 的延长线与 AD 交于点 D.
(1) 求证：$\angle B = \angle D$；
(2) 若点 C 到弦 AB 的距离为 2,求弦 AB 的长.

答案：
(1)连接OA,AD⊥OA,∠ACO=60°,∠AOC=60°,
∴∠D=30°.∠B=∠D=30°.
(2)设OC交AB于点E,则CE=2,BC=4,AB=2BE=2$\sqrt{4^{2}-2^{2}}$=4$\sqrt{3}$.

14. 如图,AB 是⊙O 的直径,E,C 是⊙O 上两点,且 $\overset{\frown}{EC} = \overset{\frown}{BC}$,连接 AE,AC. 过点 C 作 $CD \perp AE$ 交 AE 的延长线于点 D.
(1) 判定直线 CD 与⊙O 的位置关系,并说明理由；
(2) 若 $AB = 4$,$CD = \sqrt{3}$,求图中阴影部分的面积.

答案：
(1)CD与⊙O相切.理由:连接OC,
∵$\stackrel{\frown}{EC}$=$\stackrel{\frown}{BC}$,
∴∠CAD=∠BAC.
∵OA=OC,
∴∠BAC=∠ACO.
∴∠CAD=∠ACO.
∴AD//OC.
∵AD⊥CD,
∴OC⊥CD.
∴CD与⊙O相切.
(2)连接OE,连接BE交OC于点F,
∵$\stackrel{\frown}{EC}$=$\stackrel{\frown}{BC}$,
∴OC⊥BE,BF=EF.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB =90°.
∴∠FED=∠D=∠EFC=90°.
∴四边形DEFC是矩形.
∴EF=CD=$\sqrt{3}$,BE=2$\sqrt{3}$.
∴AE=$\sqrt{AB^{2}-BE^{2}}$=$\sqrt{4^{2}-(2\sqrt{3})^{2}}$=2.
∴AE=OA=OE,即△OAE为等边三角形.
∴∠AOE=60°.
∴∠BOE=120°.
∵$\stackrel{\frown}{CE}$=$\stackrel{\frown}{BC}$,
∴∠COE=∠BOC =60°.连接CE,
∵OE=OC,
∴△COE是等边三角形.
∴∠ECO=∠BOC=60°.
∴CE//AB.
∴S△ACE=S△COE.
∵∠OCD=90°,∠OCE=60°,
∴∠DCE=30°.
∴DE=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{2}$×2=1.
∴AD=3.
∴图中阴影部分的面积=S△ACD - S扇形COE=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×3 - $\frac{60×\pi×2^{2}}{360}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{2\pi}{3}$.

15. 如图,锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的,它的上下两部分是圆锥,中间是一个圆柱(如图,单位：mm). 电镀时,如果每平方米用锌 0.11 kg,要电镀 1 000 个这样的锚标浮筒需要用多少锌(π 取 3.14,精确到 1 kg)？

答案： 由图形可知圆锥的底面圆的半径为0.4m，圆锥的高为0.3m,圆锥的母线长为$\sqrt{(0.3)^{2}+(0.4)^{2}}$=0.5(m).
∴圆锥的侧面积S₁=π×0.4×0.5=0.2π(m²).
∵圆柱的高为0.8m,圆柱的侧面积S₂=2π×0.4×0.8=0.64π(m²),
∴浮筒的表面积为2S₁+S₂=1.04π(m²).
∴1000个这样的锚标浮筒需用锌1000×1.04π×0.11=114.4π≈359.答:1000个这样的锚标浮筒需用锌约359kg.

16. 如图,正方形 AOBC 的顶点 O 在原点,边 AO,BO 分别在 x 轴和 y 轴上,点 C 的坐标为 $(4,4)$,D 是 BO 的中点,P 是边 OA 上的一个动点,连接 PD,以 P 为圆心,PD 为半径作圆,设点 P 的横坐标为 t,当⊙P 与正方形 AOBC 的边相切时,求 t 的值.

答案：
∵点C坐标为(4,4),点D是BO的中点,
∴OA=OB=4,OD =$\frac{1}{2}$OB=2.当⊙P与AC相切时，如图①所示
∵点P横坐标为t,
∴PA=4−t.在Rt△DOP中,OD=2,OP=t,PD=PA=4−t,
∴PD²=OD²+OP²,即(4−t)²=2²+t²,解得t=$\frac{3}{2}$;当⊙P与BC相切时,设切点为E,连接PE,如图②所示.
∵PE⊥BC,AC⊥BC,
∴PE//AC.
∵PA//EC,
∴四边形ACEP为矩形,
∴PE=AC =4.
∴PD=PE=4.在Rt△POD中,OP=t,OD=2,PD=4,
∴PD²=OD²+OP²,即4² =2²+t²,解得t₁=2$\sqrt{3}$,t₂=−2$\sqrt{3}$(不合题意，舍去).综上所述，t的值为$\frac{3}{2}$或2$\sqrt{3}$.