《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

1. 如图,AB 是⊙O 的弦,半径 OA = 2,∠AOB = 120°,则弦 AB 的长是2$\sqrt{3}$.

答案： 2$\sqrt{3}$

2. AB 是⊙O 的弦,OM⊥AB,垂足为 M,连接 OA. 若△AOM 中有一个角是 30°,OM = $2\sqrt{3}$,则弦 AB 的长为12或4.

答案： 12或4

3. 如图,在⊙O 中,若 AB⊥MN 于点 C,AB 过圆心,则下列结论,不一定正确的是(D)

A.MC = NC
B.$\overset{\frown}{BM}= \overset{\frown}{BN}$
C.$\overset{\frown}{AM}= \overset{\frown}{AN}$
D.OC = CB

答案： D

4. 如图,在平面直角坐标系中,过格点 A,B,C 作一圆弧,则该圆弧所在圆的圆心的坐标是(B)

A.(1,0)
B.(2,0)
C.$(\frac{5}{2},0)$
D.$(\frac{5}{2},1)$

答案： B

5. 下列说法正确的个数有(D)
①垂直于弦的直径平分这条弦；②垂直平分弦的直线必过圆心；③平分一条弧的直径必平分这条弧所对的弦；④弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧.
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： D

6. 如图,⊙O 的半径为 5,弦 AB 长为 8,点 M 在线段 AB(包括端点 A,B)上移动,则 OM 的取值范围是(A)

A.$3\leqslant OM\leqslant5$
B.$3\leqslant OM\lt5$
C.$4\leqslant OM\leqslant5$
D.$4\leqslant OM\lt5$

答案： A

7. 如图,有一座圆弧形拱桥,它的跨度 AB 为 60 m,拱高 PM 为 18 m,当洪水泛滥到跨度只有 30 m 时,就要采取紧急措施. 当拱顶离水面只有 4 m,即 PN = 4 m 时,是否需要采取紧急措施?

答案： 设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA，OA'，设半径为x m，则OA=OA'=OP=x m，则OM=OP-PM=(x-18)m.由垂径定理可知AM=BM=$\frac{1}{2}$AB=30 m，A'N=B'N.在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO²=OM²+AM²，即x²=(x-18)²+30²，解得x=34.
∵PN=4 m，
∴ON=OP-PN=34-4=30(m).在Rt△A'ON中，由勾股定理可得A'N=$\sqrt{A'O^2-ON^2}$=$\sqrt{34^2-30^2}$=16(m)，
∴A'B'=32 m＞30 m.
∴不需要采取紧急措施.

8. 如图,矩形 ABCD 与⊙O 相交于 M,N,F,E 四点,若 AM = 2,DE = 1,EF = 8,求 MN 的长.

答案： 1. 首先，过$O$作$OH\perp CD$于$H$，交$AB$于$G$：
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$AB// CD$，$\angle A=\angle D = 90^{\circ}$，$OH\perp AB$。
根据垂径定理，$EH=\frac{1}{2}EF$（垂直于弦的直径平分弦）。已知$EF = 8$，则$EH=\frac{1}{2}×8 = 4$。
又因为$DE = 1$，所以$DH=DE + EH=1 + 4=5$。
2. 然后，由于四边形$AGHD$是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）：
所以$AG = DH = 5$。
已知$AM = 2$，则$MG=AG - AM$。
把$AG = 5$，$AM = 2$代入可得$MG=5 - 2 = 3$。
3. 最后，再根据垂径定理：
因为$OG\perp MN$，所以$MN = 2MG$（垂直于弦的直径平分弦）。
把$MG = 3$代入得$MN=6$。
故$MN$的长为$6$。

9. 如图,在半径为 5 的扇形 AOB 中,∠AOB = 90°,C 是弧 AB 上的一个动点(不与点 A,B 重合),OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为 D,E.
(1)当 BC = 6 时,求线段 OD 的长；
(2)在△DOE 中是否存在长度保持不变的边? 如果存在,请指出并求其长度；如果不存在,请说明理由.

答案：
(1)
∵OD⊥BC，BC=6，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=3.
∵∠BDO=90°，OB=5，BD=3，
∴OD=$\sqrt{OB^2-BD^2}$=4，即线段OD的长为4.
(2)存在，DE的长度保持不变.理由如下：连接AB，
∵∠AOB=90°，OA=OB=5，
∴AB=$\sqrt{OB^2+OA^2}$=5$\sqrt{2}$.
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴D和E分别是线段BC和AC的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴DE的长度保持不变.