《2025年长江全能学案同步练习册九年级数学全一册人教版》

1. 二次函数 $ y = \frac{1}{3}(x - 1)(x + 1) $ 与的图象 $ x $ 轴有两个交点,交点的坐标分别为$(1,0)$,$(-1,0)$.

答案： 两,$(1,0)$,$(-1,0)$

2. 二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 的图象如图所示,则关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0) $ 的两根分别为$x_{1}=-1$,$x_{2}=4$.

答案： $x_{1}=-1$,$x_{2}=4$

3. 当 $ m = $$-\dfrac{9}{8}$时,抛物线 $ y = 2x^{2} + 3x - m $ 的顶点在 $ x $ 轴上(即抛物线与 $ x $ 轴只有一个交点).

答案： $-\dfrac{9}{8}$

4. 已知二次函数 $ y = x^{2} + bx - 2 $ 的图象与 $ x $ 轴的一个交点为 $ (1,0) $,则另一个交点为(C)
A.$ (1,0) $
B.$ (2,0) $
C.$ (-2,0) $
D.$ (-1,0) $

答案： C

5. 下表给出了满足二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的五组数据,若 $ x_{1} $ 是方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 的一个解,根据表格,下列所给的 $ x_{1} $ 的取值范围正确的一组是(C)

A.$ 1.6 ＜ x_{1} ＜ 1.8 $
B.$ 1.8 ＜ x_{1} ＜ 2.0 $
C.$ 2.0 ＜ x_{1} ＜ 2.2 $
D.$ 2.2 ＜ x_{1} ＜ 2.4 $

答案： C

6. 利用函数 $ y = x^{2} - 4x + 3 $ 的图象,直接回答：
(1) 方程 $ x^{2} - 4x + 3 = 0 $ 的解为$x_{1}=3$,$x_{2}=1$；
(2) 不等式 $ x^{2} - 4x + 3 ＞ 0 $ 的解集为$x＜1$或$x＞3$；
(3) 当 $ x $$＜2$时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；
(4) 当 $ x $ 满足$1＜x＜3$时,函数值小于 $ 0 $；
(5) 当 $ 0 ＜ x \leq 3 $ 时,$ y $ 的取值范围是$-1\leqslant y＜3$；
(6) 若当 $ x ＜ m $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,则 $ m $ 的范围是$m\leqslant2$；
(7) 若方程 $ x^{2} - 4x + 3 - m = 0 $ 有实数根,则 $ m $ 的范围是$m\geqslant-1$.

答案：
(1)$x_{1}=3$,$x_{2}=1$
(2)$x＜1$或$x＞3$
(3)$＜2$
(4)$1＜x＜3$
(5)$-1\leqslant y＜3$
(6)$m\leqslant2$
(7)$m\geqslant-1$

7. 已知抛物线 $ y = x^{2} - 2x - 8 $.
(1) 求证：该抛物线与 $ x $ 轴一定有两个交点；
(2) 若抛物线与 $ x $ 轴的两个交点分别为点 $ A $,$ B $,且它的顶点为 $ P $,求 $ \triangle ABP $ 的面积.

答案：
(1)$\because b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×1×(-8)=36＞0$,$\therefore$该抛物线与$x$轴一定有两个交点.
(2)当$y=0$时,$x^{2}-2x-8=0$,解得$x_{1}=-2$,$x_{2}=4$,$\therefore AB=6$,又$y_{P}=\dfrac{4×1×(-8)-(-2)^{2}}{4×1}=-9$,$\therefore S_{\triangle ABP}=\dfrac{1}{2}AB\cdot|y_{P}|=\dfrac{1}{2}×6×9=27$.

8. 如图,在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,抛物线 $ y = x^{2} + bx + c $ 与 $ x $ 轴只有一个交点 $ M $,与平行于 $ x $ 轴的直线 $ l $ 交于 $ A $,$ B $ 两点.若 $ AB = 3 $,求点 $ M $ 到直线 $ l $ 的距离.

答案： 由题意,设$y=x^{2}+bx+c=(x-h)^{2}$.$\because AB// x$轴,$AB=3$,$\therefore$设$A\left(h-\dfrac{3}{2},m\right)$,$B\left(h+\dfrac{3}{2},m\right)$.把$A$的坐标代入抛物线解析式,得$m=\left(h-\dfrac{3}{2}-h\right)^{2}=\dfrac{9}{4}$,即点$M$到直线$l$的距离为$\dfrac{9}{4}$.

9. 如图所示,二次函数 $ y = -x^{2} + 2x + m $ 的图象与 $ x $ 轴交于点 $ A(3,0) $ 和点 $ B $,与 $ y $ 轴交于点 $ C $.
(1) 求 $ m $ 的值；
(2) 求点 $ B $ 的坐标；
(3) 若在抛物线上有一点 $ D(x,y) $(其中 $ x ＞ 0 $,$ y ＞ 0 $),使 $ S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ABC} $,求点 $ D $ 的坐标.

答案：
(1)将$A(3,0)$代入$y=-x^{2}+2x+m$,即$-9+6+m=0$,解得$m=3$.
(2)由$-x^{2}+2x+3=0$,解得$x_{1}=-1$,$x_{2}=3$,$\therefore B(-1,0)$.
(3)由$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ABC}$可知,点$D$的纵坐标为$3$,$\because$点$D$在抛物线上,$\therefore -x^{2}+2x+3=3$,求得$x_{1}=0$,$x_{2}=2$,$\therefore$点$D$的坐标为$(2,3)$.